Расчет многопролетной шарнирной балки, состоящей из двух дисков и четырех опорных стержней

РГР № 1, задача 1. расчет многопролетной

шарнирной балки

Рисунок 1

1 Кинематический анализ балки

Балка состоит из двух дисков Д₁ и Д₂ (Д = 2), одного простого шарнира Ш (Ш = 1) и четырех опорных стержней С₁ – С₄ (С_ОП = 4) (рисунок 2).

2. Проводим структурный анализ системы. Диск Д₁ присоединен к земле при помощи трех опорных стержней С₁, С₂, С₃, не параллельных между собой и не пересекающихся в одной точке. Следовательно, систему Д₁–земля можно считать одним диском. К нему посредством шарнира Ш и стержня С₄ прикреплен диск Д₂, причем ось стержня не проходит через шарнир.

Таким образом, данная многопролетная балка является статически определимой, геометрически неизменяемой и неподвижно прикрепленной к земле.

2 Построение эпюр внутренних усилий от неподвижной нагрузки

Наметим расчетные сечения 1–6 (рисунок 3, а). Изобразим поэтажную схему (рисунок 3, б), в которой двухопорная балка 1–5 является основной, балка 5–8 – дополнительной.

Расчет начнем с дополнительной балки 5–8, на которую действует только заданная нагрузка. Рассматриваем ее как простую двухопорную балку (рисунок 3, в). Составим уравнения моментов относительно правой и левой опор:

∑М₇ = 0;   – V₅ · 2d + 2P · 2d – Pd = 0,    ∑М₅ = 0;    V₇ · 2d – P · 3d = 0,

откуда  V₅ = (4Pd – Pd)/2d = 1,5P;  V₇ = 3Pd/2d = 1,5P.

Проверка: SY = V₅ + V₇ – 2P – P = 1,5P + 1,5P – 3P = 0.

Далее выполняем расчет основной балки 8–11, которая загружена заданной нагрузкой и сосредоточенной силой, равной соответствующей опорной реакции вышерасположенной балки 5–8: V₅ = 1,5P.

Составим уравнения моментов относительно правой и левой опор:

∑М₄ = 0;  – V₁ · 3d – V₅ · d + 2P · 2d – 0,5Pd = 0, 

∑М₁ = 0;  V₄ · 3d – V₅ · 4d – 2Pd – 0,5P · 2d = 0,

откуда  V₁ = (– 1,5Pd + 4Pd – 0,5Pd)/3d = P;  V₄ = (1,5P · 4d + 2Pd + Pd)/3d = 3P.

Проверка: SY = V₁ + V₄ – V₅ – 2P – 0,5P = P + 3P – 1,5P – 2P – 0,5P = 0.

3 Построение линий влияния статическим методом

Для заданной многопролетной балки (рисунок 4, а) изображаем поэтажную схему (рисунок 4, б).

Линия влияния V₁. Опора 1 относится к основной балке 1–5. Вначале строим линию влияния в пределах этой балки (рисунок 5, а),  при этом положение силы Р = 1 задаем координатой z₁, отсчитываемой от опоры 1. Составим уравнение равновесия SМ₄ = 0:

1 × (3d – z₁) – V₁ · 3d = 0,  отсюда V₁ = 1 – z₁/3d.

Определим V₁ при расположении груза Р = 1 в двух характерных точках:

 (груз на опоре 1),   (груз на опоре 4).

По полученным ординатам в пределах балки 1–5 проводим прямую.

Далее продолжаем линию влияния в вышерасположенную дополнительную балку 5–8. Уже известную ординату в сечении 5 соединяем с нулевой ординатой под опорой 7. Характерные значения вычисляем из подобия треугольников. Линия влияния V₁ показана на рисунке 4, в.

Линия влияния V₄. Опора 4 также принадлежит основной балке 1–5. Построение ведем аналогично. Составим уравнение SМ₁ = 0:

– 1 × z₁ + V₄ · 3d = 0,  отсюда V₄ = z₁/3d.

 (груз на опоре 1),   (груз на опоре 4).

По полученным ординатам в пределах балки 1–5 проводим прямую.

Далее уже известную ординату в сечении 5 соединяем с нулевой ординатой под опорой 7. Характерные значения вычисляем из подобия треугольников. Линия влияния V₄ показана на рисунке 4, г.