Расчет статически определимых систем с использованием поэтажных схем

Страницы работы

Содержание работы

Расчет с использованием поэтажных схем

Многие балочные и рамные статически определимые системы содержат промежуточные шарниры. Для определения опорных реакций в такой системе можно составить три уравнения статики, а также уравнения моментов относительно шарниров. В итоге количество совместно решаемых уравнений будет равно числу искомых реакций плюс число промежуточных шарниров.

Однако указанный способ расчета является слишком громоздким. Поэтому сложные системы стремятся расчленить на простые элементы и рассмотреть их отдельно.

Основные и дополнительные диски. В структуре многих статически определимых систем, содержащих шарниры, можно выделить основные и дополнительные элементы (диски, балки, рамы).

Основные диски прикреплены к земле неподвижно (например, при помощи заделки или двух шарнирных опор). Удаление из сооружения основного диска приводит к изменяемости системы. В общем случае основными элементами могут быть не только отдельные стержни, но и геометрически неизменяемые и неподвижные системы.

Дополнительные (присоединенные) диски прикреплены шарнирами к основным дискам, а также могут опираться на землю. Разновидностью дополнительных являются подвесные диски, прикрепленные к двум основным или дополнительным дискам двумя шарнирами. Дополнительные диски самостоятельно использоваться не могут, так как без основных дисков они геометрически изменяемы.

Поэтажные схемы. Для наглядности расчетная схема конст­рукции, содержащей основные, дополнительные и подвесные элементы, изображается в виде поэтажной схемы (схемы взаимодействия). Естественно, предварительно надо убедиться в геометрической неизменяемости системы, для чего проводится кинематический анализ.

При составлении поэтажной схемы используются следующие  принципы:

§ основные диски считаются I этажом;

§ дополнительные и подвесные диски могут быть II, III, ... этажами;

§ каждый из шарниров, соединяющих основные и дополнительные диски, заменяется шарнирно неподвижной опорой;

§ один из шарниров, присоединяющих подвесной диск, заменяется шарнирно неподвижной опорой, другой – шарнирно подвижной; при этом в опору нижележащего диска добавляется один стержень;

§ полученная поэтажная схема и каждый ее элемент в отдельности  должны быть геометрически неизменяемыми.

На рисунке 3.3 изображена двухпролетная статически определимая рама и ее поэтажная схема. Средняя часть рамы геометрически неизменяема и неподвижна, поэтому она является основным диском. 

Рисунок 3.3

Крайние элементы опираются на основной диск и на землю, следовательно, это дополнительные диски.

На рисунке 3.4, а, б показаны многопролетные балки двух типов и их поэтажные схемы. Основные балки прикреплены к основанию либо с помощью двух шарнирных опор, либо посредством заделки. Дополнительные балки имеют шарнирное соединение с землей, подвесная – только с основными балками.

Анализируя поэтажные схемы и их элементы в отдельности, убеждаемся, что все они геометрически неизменяемы.

Рисунок

Далее можно исследовать каждый элемент поэтажной схемы отдельно. Расчет начинается с верхних этажей, на которые действует только заданная нагрузка. Затем рассчитываются нижние этажи, на которые, кроме приложенной нагрузки, действуют силы в виде опорных давлений верхних этажей. Эпюры внутренних усилий обычно строятся на одной базе для всей системы.

Пример 1 Требуется рассчитать статически определимую раму, которая состоит из двух элементов АВ и СD, соединенных шарниром. Расчетная схема рамы показана на рисунке 3.5, а.

Рисунок 3.5

Составим поэтажную схему рамы. В ее структуре выделим основную часть АВ, прикрепленную к земле неподвижно (I этаж), и дополнительную CD, присоединенную к основной с помощью шарнира С (II этаж). При этом шарнир С заменим шарнирно-неподвижной опорой (рисунок 3.5, б).

Далее разделим раму на две части, которые будем рассчитывать отдельно (рисунок 3.6). К основной раме кроме заданных нагрузок приложим еще две силы, равные соответствующим опорным реакциям дополнительной рамы.  Точки  приложения сил и  узлы  пронумеруем  от  1  до  4. Определим  величину угла α. Так как  tg α = a/(2a) = 0,5, то α = 26,6º; sin α = 0,447; cos α = 0,894.

Расчет дополнительной рамы CD. Определим опорные реакции, для этого составим уравнения  равновесия 

МC = 0:  НD · 2aq · 2a · a = 0;

Z = 0:  –HC + HD = 0;     ∑Y = 0:  VCq · 2a = 0,

Рисунок

откуда

HC = qaVC  = 2 qaHD =  qa.

Для проверки составим уравнение ∑МD = 0:

q · 2a · a VC · 2a + HC · 2a =

= 2qa2 – 2 qa · 2a + qa · 2a = 0.

Проверка выполняется.

Далее определим внутренние усилия. При вычислении моментов в скобках будем указывать растянутые волокна.

Участок D-4МD = 0, M4 = HDa = qa2 (лев.), QD-4 = –HD = – qa, ND-4 = 0.

Участок С-4 (рисунок 3.7, а). MC = 0, M4 = qa2 (ниж.).

Рисунок 3.7

Из равновесия левой части

(∑Y' = 0)  QC = –HC sin α + VC cos α =

= – qa · 0,447 + 2 qa · 0,894 = 1,341 qa;

(∑Z' = 0)  NC = HC cos α + VC sin α =

= qa · 0,894 + 2 qa · 0,447 = 1,788 qa.

Из равновесия правой части

(∑Y' = 0)  Q4 = –HD sin α = – qa · 0,447 = – 0,447 qa;

(∑Z' = 0)  N4 = HD cos α = qa · 0,894 = 0,894 qa.

По полученным данным для рамы CD строим эпюры (рисунок 3.8). Эпюра Q пересекает ось на некотором расстоянии z'0 от точки С, следовательно, здесь будет максимальный момент (рисунок 3.7, б). Найдем величину z'0 из подобия треугольников:

z'0 = = 1,68 а.

Максимальный момент

Mmax = VC z'0 cos α – HC · z'0 sin α – q· 0,5 · (z'0 cos α)2 = 2 qa· 1,68 a · 0,894 –

qa· 1,68 a · 0,447  – q· 0,5 · (1,68 a · 0,894)2 = 1,125 qa2.

Расчет основной рамы АВ. Определим опорные реакции, для этого составим уравнения  равновесия 

МВ = 0:  VB · 3aP · 3aHC · 2aVC · 3a = 0;

МA = 0:  VA · 3aP · 3aHC · 2a = 0;    ∑Z = 0:  –HA + HC + P = 0,

откуда

VA = 1,667 qaVB  = 3,667 qaHA = 2 qa.

Для проверки составим уравнение  ∑Y = 0:

VBVAVC = 3,667 qa –1,667 qa – 2 qa = 0.

Проверка выполняется.

Далее определим внутренние усилия.

Участок A-1МA = 0, M1 = HA · 3a = 2qa · 3a = 6qa2 (прав.),

QA-1 = HA = 2 qa,  NA-1 = VA = (5/3) qa.

Участок 1-2. M1 = 6qa2 (ниж.), M2 = HC · a = qa · a = qa2 (ниж.),

Q1-2 = –VA = –1,667 qa,  N1-2 = HA = 2 qa.

Участок 2-3М2 = qa2 (лев.), M3 = 0,

Q2-3 = –HС = – qa,  N2-3 = –VA = –1,667 qa.

Участок В-3МВ = M3 = 0, QВ-3 = 0, NВ-3 = –VВ = –3,667 qa.

По полученным данным строим эпюры (см. рисунок 3.8). ý

Рисунок 3.8

Таким образом, поэтажная схема делает более понятной работу сложной системы и упрощает ее расчет. Пример расчета многопролетной балки с использованием поэтажной схемы будет рассмотрен далее.

Похожие материалы

Информация о работе