Исследование влияния числа учитываемых членов ряда Фурье на точность аппроксимации

НГТУ

Расчетно-графическое задание

 по вычислительной математике

Аппроксимация функций

Выполнил:                                                                        Преподаватель:

студент                                                                             Чикильдин Г.П    

группы АП019

Малыгин Иван

Вариант №9

Новосибирск, 2002 г.

I. Цель: Исследовать влияние числа учитываемых членов ряда Фурье на точность аппроксимации. Определить погрешность аппроксимации.

Постановка задачи: На интервале [a,b] произвести аппроксимацию функций f(t), заданной шагом , обобщённым рядом Фурье по системе ортогональных (ортонормированных) на [a,b] c весом  базисных функций

Данные:

Функция:

Интервал:

Шаг: 0,05

II.  Теоретические сведения

Система линейно независимых функций  называется ортогональной на  с весом , если .

 - нормирующая функция. Она неотрицательна на  и интегрируема на  с положительным результатом.

Если для ортогональной системы выполняется условие

, то такая система функций называется ортонормированной.

Пусть на  задана система линейно независимых функций  и некоторая последовательность констант  Ряд вида  называется функциональным рядом. Если этот ряд сходится, то его сумму обозначают как .

Если система функций  будет ортогональна или ортонормированна, то получаемый функциональный ряд будет называться рядом Фурье.

Коэффициенты , коэффициенты Фурье, в таком случает будут определяться так:

 в случае ортогональной системы функций,

 в случает ортонормированной системы.

Произвольную кусочно-непрерывную функцию  на [a;b] приближённо можно представить в виде обобщённого ряда Фурье с конечным числом членов

,                                                                 (**)

где ,  – система ортогональных на [a;b] базисных функций, а

 – коэффициенты Фурье .                            (*)

Таким образом, чтобы решить задачу аппроксимации функции f(t) на [a;b], необходимо при заданном базисе , , , вычислить коэффициенты Фурье  согласно (*)  и восстановить оценку , аппроксимируемой функции f(t) по (**).

Полиномы Лежандра, ортогональные на  с весом

,  

К – целая часть

          Нормирующий множитель полиномов Лежандра

и ортонормированные полиномы -

III. Листинг

program main

        real f(113),t(113),ro(113),fi(7,113),f1(113),c(7),ff(113)

        real a,b,dt,e(113),em,es,ep,emo,eso,epo,ff1(113)

        real ff3(113),ff5(113),e1(113),e3(113),e5(113)

        integer i,kon,l

        open (1,file='data')

        write (1,*)'Студент:Малыгин Иван'

        write (1,*)'Группа: АП-019'

        write (1,*)'Вариант №9'

        write (1,*)'Исходные данные:a=0,6;b=2,05;dt=0,025;'

        write (1,*)'аппророксимируемая функция:5+2,5*SIN(0,5*t);'

        write (1,*)'базисные функции Лежандра.'

        a=0.8

        b=6.4

        dt=0.05

        kon=(b-a)/dt+1

        do 1 i=1,kon

c    Вычисление реализации аппроксимируемой

c    функции f(t) на заданном [a,b] при фиксированном dt

        t(i)=0.8+0.05*(i-1)

        f(i)=5+2.5*sin(0.5*t(i))

1       continue                            

        open (4,FILE='graph3')

        do 2 l=1,7

c    Вычисление базисных функций полинома Лежанжра

        call n1yplg(a,b,kon,dt,l,ro,fi)

c    Вычисление коэффициентов Фурье

        call n1ykf(kon,dt,l,f,f1,fi,ro,c)

c    Реализация оценки аппроксимируемой функции f~(t)

        call n1ywst(kon,l,c,fi,ff)

c    Вычисление погрешности аппроксимации

        call n1yeee(f,ff,kon,e,em,es,ep,emo,eso,epo)

        if(l.gt.2) write (4,*)l,emo,eso

        write (1,10)l

        write (1,11)

        write (1,16)

        write (1,12)

        do 4 i=1,l

        write (1,13)i,c(i)

4       continue

        write (1,14) l-2,l

        do 3 i=1,kon

        if ((l.eq.4).or.(l.eq.6)) go to 7

        if (l.eq.3) ff1(i)=ff(i)

        if (l.eq.3) e1(i)=e(i)

        if (l.eq.5) ff3(i)=ff(i)

        if (l.eq.5) e3(i)=e(i)

        if (l.eq.7) ff5(i)=ff(i)

        if (l.eq.7) e5(i)=ff(i)

7       write (1,15) t(i),f(i),ff(i),e(i)

3       continue

2       continue

        close(4)

        write (1,11)

        write (1,17)

        write (1,19)

c      Вывод в файл graph1 значений функции и аппроксимирующих

с      полиномов

        open(2,FILE='graph1')

        do 8 i=1,kon

        write (2,23)t(i),f(i),ff1(i),ff3(i),ff5(i)

8  continue

        open(5,FILE='graph4')

c    Вывод зависимости погрешности аппроксимирующих полиномов от

с     аргумента

        do 9 i=1,kon

        write (5,*)t(i),e1(i),e3(i),e5(i)

9      continue

        open (3,FILE='graph2')

c    Вывод в файл graph2 реализации базисных фунций и весовой

c    функции

        do 5 i=1,kon

        write (1,18)t(i),(fi(j,i),j=1,5)

        write (3,23)t(i),(fi(j,i),j=1,5),ro(i)

5       continue

        close (3)

        write (1,11)

        write (1,20)

        write (1,21)

        do 6 i=1,kon

        write (1,22)t(i),ro(i)

6       continue

        close (1)

        close(2)

10     format ('Количество учитываемых членов ряда Фурье:',I1)

11     format (1x/'__________________________________________')

12     format ('Коэффициенты Фурье:')

13     format ('c(',I1,')=',f6.4)

14     format (1x/'Табл.',1x,I1/8x,'Результаты расчетов при    l=',I1/3x, *  'T',9x,'F',10x,'~F',10x,'E')

15     format (F8.5,3x,F8.5,3x,F8.5,3x,F8.5,3x,F9.5)

16     format (1x)

17     format (1x/'Табл. 6'/11x,*'Реализации первых пяти базисных функций')

18     format (F6.4,1x,F8.5,1x,F8.5,1x,F8.5,1x,F8.5,1x,F8.5)

19     format (3x,'T',6x,'^T1',6x,'^T2',6x,'^T3',6x,'^Т4',6x,'^T5')

20     format (1x/'Табл. 7'/'Реализация весовой функции')

21     format (6x,'T',8x,'Po')

22     format (1x,F8.5,1x,F8.5)

23     format (F6.2,1x,6(F11.8,1x))

       end

IV. Результаты.

Приведены графики функций , , , , а  также графики базисных функций  и графики относительной и абсолютной погрешностей (EMO и ESO). Т.к. весовая функция , она на графики не выводится. Поскольку у полиномов при l>3достаточно высокая степень приближения, также приведены графики зависимости погрешности от t.

V. Заключение

1.  Погрешности аппроксимации падают с увеличением числа L учитываемых членов ряда Фурье, но если при малых L это падение очень заметно, то при увеличении L оно начинает уменьшаться, что связано с возрастанием числа вычислительных операций и, следственно, накоплением вычислительной погрешности.

2.  Ряды Фурье приближают функцию лучше в среднеквадратическом смысле, а не в равномерном, что видно из последнего графика: е_со на порядок меньше, чем е­_мо.

VI. Список литературы

Оглавление

Цель. Постановка задачи.                                                                    2                 

Теоретическая часть                                                                            2-3

Листинг                                                                                                 3-5

Результаты. Графики.                                                                          5-7

Заключение.                                                                                         8

Список литературы.                                                                             8