Вычислительный эксперимент. Погрешности в вычислительной математике. Корректность постановки вычислительной задачи

 [1] Вычислительный эксперимент. 

Численные методы - это методы, сводящие решение задач к ариф­метическим и логическим действиям над числами.

Решение, полученное численным методом, как правило, является приближенным. Вычислительный эксперимент представляет собой исследование физической проблемы средствами вычислительной математики. Вычислительный эксперимент включает в себя следующие этапы.

1 . Постановка задачи. Данный этап предполагает четкую форму­лировку физической проблемы и построение (или выбор) математичес­кой модели, описывающей это физическое явление. Математическая мо­дель обычно представляется в виде некоторых уравнений, коэффициен­ты которых выражаются через параметры или характеристики изучаемо­го явления. Математическая модель должна как можно точнее описы­вать свойства физического явления, которое в общем случае беско­нечно сложно, что приводит к громоздкости формализованного пред­ставления модели. Поэтому при построении математической модели учитываются лишь важнейшие (для данной задачи) стороны явления, что существенно упрощает вид модели, однако приводит к появлению погрешности, несоответствия математической модели изучаемому физи­ческому явлению.

Погрешность несоответствия математической модели является не­устранимой и сказывается на конечном результате независимо от спо­соба решения задачи.

2. Выбор вычислительного алгоритма. После того как постановка задачи осуществлена, следует выбрать алгоритм ее решения. Извест­но, что одну и ту же задачу можно решить различными методами. Например, для решения системы линейных алгебраических уравнений можно использовать правило Крамера, метод Гаусса или так называе­мые итерационные алгоритмы, которые реализуются посредством много­кратного повторения однотипных вычислительных операций, уточняющих грубое, априори заданное, начальное приближение решения.

Точное аналитическое решение удается определить весьма редко, обычно в тех случаях, когда математическая модель представлена в достаточно простом виде. Для более сложных моделей используются численные методы, которые позволяют получить лишь приближенное ре­шение. При этом погрешности возникают из-за того, что численным методом решается не исходная задача, которую в общем виде можно представить как у = А{х},

где у - решение, х - аргумент, А - оператор, воздействующий на х для получения у, а некоторая другая

,

близкая в той или иной мере к исходной. Например, если аналитичес­ки не удается вычислить

из-за сложности f(x) или, если f(x) задана в табличном виде, то приближенное решение может быть найдено путем замены f(x) на ап­проксимирующий ее полином  конечной степени п, либо, посколь­ку интеграл представляет собой площадь, ограниченную подынтеграль­ной функцией, вычислить эту площадь как сумму площадей некоторых элементарных геометрических фигур, например прямоугольников

с высотой  и основанием f(x_i) для всех. Во втором случае вместо оператора А используется приближенный оператор. Более точный результат интег­рирования будет иметь место, если в качестве элементарных геометрических фигур использовать не прямоугольники, а трапеции с осно­ваниями и f(x_i+1) и высотой При этом

В любом случае интеграл вычисляется с погрешностью  

Погрешность, которую дает численный метод, называется методи­ческой погрешностью.

Таким образом, одним из критериев выбора алгоритма является точность, с которой может быть получено искомое решение.

Другим критерием может служить простота реализации алгоритма - количество вычислительных операций, посредством которых реализу­ется данный алгоритм. Поскольку вычисления производятся на ЭВМ, имеющей память с ограниченной разрядной сеткой, вычислительные операции выполняются с погрешностью, которая возникает из-за ок­руглений получаемых чисел. Данная погрешность называется вычисли­тельной погрешностью или погрешностью округления и имеет тенденцию накопления с увеличением количества вычислительных операций. Поэ­тому чем проще алгоритм, тем в меньшей степени будет сказываться вычислительная погрешность на конечном результате.

Следует иметь в виду, что более простые алгоритмы, как прави­ло, менее точны, т.е. обладают большей методической погрешностью.

В ряде случаев возникает необходимость получения решения за минимально возможное время. Данное требование характеризует быст­родействие алгоритма - время, необходимое для нахождения результа­та. Поскольку большинство численных методов носит итерационный ха­рактер, быстродействие алгоритма определяется временем выполнения одной итерации и их количеством. Чем меньше количество итераций, необходимых для получения решения с требуемой точностью, тем, го­ворят, большей скоростью сходимости обладает алгоритм.

Приведенные критерии (точность и быстродействие) обычно про­тиворечат друг другу, поэтому выбор алгоритма осуществляется в каждой конкретной задаче с учетом конкретных требований или выби­рается некий компромиссный вариант.

3. Программирование вычислительного алгоритма. Реализация ал­горитма на ЭВМ предполагает составление программы на алгоритмичес­ком языке. Само по себе программирование алгоритма с использовани­ем современных языков высокого уровня не представляет особых труд­ностей, однако достаточно трудоемким является процесс отладки программы на ЭВМ - устранение всевозможных ошибок и программных

сбоев с целью доведения программы до рабочего состояния. Отладка программы обычно производится на решении тестовых задач с заведомо известными результатами. Если программа очень сложна или отсутст­вует тест на задачу в целом, то программа отлаживается отдельными блоками .