ности, необходимо связать с каждым из них некоторое число, которое тем
больше, чем более возможно наступление события. Это число называется вероятностью события.
Необходимо подчеркнуть, что вероятность есть объективная величина, существующая независимо от познающего и обусловливаемая всей совокупностью условий, которые способствуют появлению события.
Сформулируем основное положение теории вероятностей. Пусть дано дискретное пространство элементарных событий О с элементами юь ю2, Юз,... Полагаем, что каждому из элементарных событий <п,- поставлена в соответствие некоторая неотрицательная числовая характеристика р1=Р((й^), называемая вероятностью этого события, причем
1.2.2 Классический метод определения вероятности
Если пространство элементарных событий некоторого эксперимента состоит из конечного числа элементов Юь 0)2, ..., <и„, причём все исходы являются симметричными и в силу этого равновозможными, т. е.
то для определения вероятности любого события А, связанного с данным экспериментом, можно воспользоваться так называемым классическим методом определения вероятности, согласно которому вероятность любого события А определяется по формуле
(Для определения вероятностей событий в непрерывных пространствах элементарных исходов необходимо привлекать более сложный математический аппарат. Этот случай здесь рассматриваться не будет.)
По определению, вероятность Р(А) любого события А равна сумме вероятностей всех составляющих его элементарных событий:
Р(А)=
Рассмотрим аксиомы, которым должны удовлетворять вероятности любых событий:
А1 (Аксиома неотрицательности). Вероятность любого события А есть неотрицательное число:
Р(А) > 0, для любого события А.
А2 (Аксиома нормированное™). Вероятность достоверного события (всего пространства элементарных исходов О) равна единице:
АЗ (Аксиома аддитивности). Вероятность суммы счетного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Основные следствия из аксиом теории вероятностей:
1. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(0) = 0.
2. Вероятность любого
случайного события есть число, заключенное в
отрезке
от нуля до единицы: 0 < Р(А) < 1 .
3. Вероятность события А
, противоположного событию А, можно опре
делить
следующим образом: Р( А ) = 1 — Р(А).
9
(1)
где т — число элементарных исходов, благоприятных событию А; п — общее число исходов пространства элементарных событий.
Пример 4. На сортировочную станцию прибыли вагоны из Орши, Могилева и Витебска. Предполагая равновозможными все варианты очередности разгрузки этих трех вагонов, найти вероятности событий:
А — {вагон из Орши будет разгружен первым};
С — {вагон из Могилева будет разгружен не ранее, чем вагон из Витебска}.
Решение. Пространство элементарных исходов в данном случае состоит из шести элементов: О = {а>\, 0)2, Юз, ох», Юз, (Об} (и = 6). Для удобства можно ввести условные обозначения элементарных исходов: О = {ОМВ, ОВМ, МОИ, МВО, ВОМ, ВМО}, где, например, исход ОМВ соответствует такой последовательности разгрузки вагонов: из Орши — из Могилева — из Витебска. Таким образом:
А = {ОМВ, ОБЩ, (т=2), Р(А)=т/п=2/6=1/3.
С = {ОВМ, ВОМ, ВМО} ,(т = 3), Р(С)=т!п = 3/6 = 0,5.
Пример 5. Правильная монета подбрасывается три раза. Найти вероятности событий: А — {герб выпал только один раз}; В — {при втором подбрасывании выпал герб}; С— {в результате подбрасываний герб выпал хотя бы один раз}.
Решение. Пространство элементарных исходов данного эксперимента состоит из восьми элементов О= {к>\, къ, ..., к>%} и может быть представлено в условных обозначениях следующим образом: П = {РРР, ГРР, РГР, РРГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГГГ}, (п = 8), где, например, исход ГРР соответствует тому, что в результате первого подбрасывания монета упала кверху гербом, а во втором и третьем
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
