Теория вероятностей и математическая статистика. Часть 1. Теория вероятностей: Учебное пособие

Страницы работы

Фрагмент текста работы

ности, необходимо связать с каждым из них некоторое число, которое тем


больше, чем более возможно наступление события. Это число называется вероятностью события.

Необходимо подчеркнуть, что вероятность есть объективная величина, существующая независимо от познающего и обусловливаемая всей совокуп­ностью условий, которые способствуют появлению события.

Сформулируем основное положение теории вероятностей. Пусть дано дискретное пространство элементарных событий О с элементами юь ю2, Юз,... Полагаем, что каждому из элементарных событий <п,- поставлена в со­ответствие некоторая неотрицательная числовая характеристика р1=Р((й^), называемая вероятностью этого события, причем


1.2.2  Классический метод определения вероятности

Если пространство элементарных событий некоторого эксперимента со­стоит из конечного числа элементов Юь 0)2, ..., <и„, причём все исходы явля­ются симметричными и в силу этого равновозможными, т. е.

то для определения вероятности любого события А, связанного с данным экспериментом, можно воспользоваться так называемым классическим ме­тодом определения вероятности, согласно которому вероятность любого события А определяется по формуле



(Для определения вероятностей событий в непрерывных пространствах элементарных исходов необходимо привлекать более сложный математиче­ский аппарат. Этот случай здесь рассматриваться не будет.)

По определению, вероятность Р(А) любого события А равна сумме веро­ятностей всех составляющих его элементарных событий:

Р(А)=

Рассмотрим аксиомы, которым должны удовлетворять вероятности лю­бых событий:

А1 (Аксиома неотрицательности). Вероятность любого события А есть неотрицательное число:

Р(А) > 0, для любого события А.

А2 (Аксиома нормированное™). Вероятность достоверного события (всего пространства элементарных исходов О) равна единице:

АЗ (Аксиома аддитивности). Вероятность суммы счетного числа несо­вместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Основные следствия из аксиом теории вероятностей:

1.  Вероятность невозможного события равна нулю: Р(0) = 0.

2.  Вероятность любого случайного события есть число, заключенное в
отрезке от нуля до единицы: 0 < Р(А) < 1 .

3.  Вероятность события А , противоположного событию А, можно опре­
делить следующим образом: Р( А ) = 1 — Р(А).

9


(1)

где т — число элементарных исходов, благоприятных событию А; п — общее число исходов пространства элементарных событий.

Пример 4. На сортировочную станцию прибыли вагоны из Орши, Могилева и Витебска. Предполагая равновозможными все варианты очередности разгрузки этих трех вагонов, найти вероятности событий:

А — {вагон из Орши будет разгружен первым};

С — {вагон из Могилева будет разгружен не ранее, чем вагон из Витебска}.

Решение. Пространство элементарных исходов в данном случае состоит из шести элементов: О = {а>\, 0)2, Юз, ох», Юз, (Об} (и = 6). Для удобства можно ввести ус­ловные обозначения элементарных исходов: О = {ОМВ, ОВМ, МОИ, МВО, ВОМ, ВМО}, где, например, исход ОМВ соответствует такой последовательности разгрузки вагонов: из Орши — из Могилева — из Витебска. Таким образом:

А = {ОМВ, ОБЩ, (т=2), Р(А)=т/п=2/6=1/3.

С = {ОВМ, ВОМ, ВМО} ,(т = 3), Р(С)=т!п = 3/6 = 0,5.

Пример 5. Правильная монета подбрасывается три раза. Найти вероятности со­бытий: А — {герб выпал только один раз}; В — {при втором подбрасывании выпал герб}; С— {в результате подбрасываний герб выпал хотя бы один раз}.

Решение. Пространство элементарных исходов данного эксперимента состоит из восьми элементов О= {к>\, къ, ..., к>%} и может быть представлено в условных обозначениях следующим образом: П = {РРР, ГРР, РГР, РРГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГГГ}, (п = 8), где, например, исход ГРР соответствует тому, что в результате первого под­брасывания монета упала кверху гербом, а во втором и третьем

Похожие материалы

Информация о работе