Составление узловой, контурной матриц, и матрицы главных сечений для линейной электрической цепи. Вычисление комплексных сопротивлений ветвей

1. Исходные данные.

В линейной электрической цепи, содержащей резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы, действуют идеальные источники ЭДСe_k(t)=E_kmsin(ωt+ψ_k) и тока J_k(t)=J_kmsin(ωt+α_k).

Для заданной схемы:

1. Начертить направленный граф схемы, указать на нём дерево и связи.

2. Составить матрицы: узловую А, контурную В и главных сечений Q.

3. Вычислить комплексные сопротивления ветвей.

4. Записать матрицы действующих значений ЭДС источников ЭДС и токов источников 
 тока в комплексной форме.

5. Рассчитать на ЭВМ токи в ветвях методом контурных токов.

6. Построить топографическую векторную диаграмму напряжений для всех элементов
 одного из контуров, содержащего 2 или 3 источника ЭДС.

Дано:
R₁=50 Ом;                                 L₁=0.125 Гн;                          C₁=30 мкФ;

   R₂=70 Ом;                                 L₃=0.115 Гн;                          C₂=25 мкФ;
R₄=80 Ом;                                 L₅=0.12 Гн;                            C₄=40 мкФ;
R₅=60 Ом;                                 L₆=0.13 Гн;
R₆=55 Ом;

E_3M=150 В;                                ψ₃= 25⁰;                                           
E_4M=190 В;                                ψ₄= -20⁰;
E_6M=210 В;                                ψ ₆= 60⁰;

J_1M=3 A;                                    α₁= 15⁰;
J_4M=6 A;                                    α₄= -15⁰;
J_6M= 4 A;                                   α ₆= -40⁰.

2. Составим узловую, контурную матрицы, и матрицу главных сечений.

 
     Узловая матрица:              ;
    




 




 



   Контурная матрица:                        ;
    











Матрица главных сечений:    ;

3. Вычислим комплексные сопротивления ветвей.

Определим реактивные сопротивления элементов:

рад;
 Ом;
 Ом;
 Ом;
 Ом;

 Ом;

 Ом;

 Ом;

Находим комплексные сопротивления ветвей:

Z₁=R₁+j(X_L1-X_C1)=50+j(157.08-26.526)=50+j130.554=139.801e^j69.04 Ом;
Z₂=R₂-jX_C2=70-j31.831=76.897e^-j24.45 Ом;
Z₃=jX_L3=j144.513=144.513e^j90 Ом;
Z₄=R₄-jX_C4=80-j19.894=82.436e^-j13.97 Ом;
Z₅=R₅+jX_L5=60+j150.796=162.294e^j68..3 Ом;
Z₆=R₆+jX_L6=55+j163.363=172.373e^j71.39 Ом;


Составим матрицу сопротивлений ветвей.





4. Запишем матрицы действующих значений ЭДС источников ЭДС и токов источников тока в комплексной форме.

Найдём комплексы действующих значений ЭДС и токов


  В;

     В;

     В;


      А;

      А;

      А

Составим матрицы действующих значений ЭДС источников ЭДС и токов источников тока в комплексной форме.
      B;                                      
  А;

5. Метод контурных токов.

Вычислим матрицу контурных сопротивлений:

 Ом;

Вычислим матрицу контурных ЭДС:

 В;

Находим контурные токи:

                                  









 A;

 A;



 A;

Составим матрицу контурных токов:

 A;

Находим токи в ветвях:

                                  

 A;

I₁= 1.532-j1.476= 2.127e^-j43.93 A;
I₂= -2.625+j0.545= 2.681e^j168.27 A;
I₃= -1.406+j0.047 = 1.407e^j178.09 A;
I₄= -1.99-j1.472 = 2.475e^-j143.51 A;
I₅= 1.219-j0.498 = 1.317e^-j22.22 A;
I₆= 1.278+j0.245 = 1.301e^j10.85 A;

Запишем мгновенные значения токов в ветвях:

            i₁(t)=I₁sin(ωt+α_i1)=3.008sin(1256.637t-43.93⁰); A;
            i₂(t)=I₂sin(ωt+α_i2)=3.792sin(1256.637t+168.27⁰); A;
??        i₃(t)=I₃sin(ωt+α_i3)=1.99sin(1256.637t+178.09⁰); A;
            i₄(t)=I₄sin(ωt+α_i4)=3.5sin(1256.637t-143.51⁰); A;
            i₅(t)=I₅sin(ωt+α_i5)=1.863sin(1256.637t-22.22⁰); A;     i₆(t)=I₆sin(ωt+α_i6)=1.84sin(1256.637t+10.85⁰); A;

                                               Баланс мощностей:
По закону Ома найдем напряжение на источниках тока.

 B;

Находим полную мощность источников,

 

Находим мощность приемников.

6. Построим топографическую векторную диаграмму напряжений всех элементов контура a-b-c-d-e-f-g-h-l.

φ_a=0 B;

φ_b= φ_a-I₄·R₄=0-(-1.99-j1.472) ·80=159.2+j117.76 B;

φ_c = φ_b-I₁·(-jX_C1)=(159.2+j117.76)-(1.532-j1.476) ·(-26.526)=198.352+j158.398 B;

φ_d= φ_c-I₁ ·R₁=(198.352+j158.398)-(1.532-j1.476) ·50=121.752+j232.198 B;

φ_e= φ_d-I₁ ·(jX_L1)= (121.752+j232.198)-(1.532-j1.476) ·(j157.08)= -110.097-j8.448 B;

φ_f= φ_e+I₆ ·(jX_L6)=( -110.097-j8.448)+(1.278+j0.245) ·(j163.363)= -151.592+200.166 B;

φ_g= φ_f-E₆=(-151.592+200.166)-(74.246+j128.598)= -225.838+j71.568 B;

φ_h= φ_g+I₆ ·R₆=(-225.838+j71.568)+( 1.278+j0.245) ·55= -155.603+j85.538 B;

φ_l= φ_h-I₄ ·(-jX_C4)=( -155.603+j85.538)-(-1.99-j1.472) ·(-j19.894)= -126.318+j45.948 B;

φ_a= φ_l+E₄=(-126.318+j45.948)+(126.248-j45.951)= -0.07-j0.003 ≈ 0 B;

Топографическая векторная диаграмма.