Решение ОДУ и краевых задач в MathCad (Практическое занятие № 2)

Математические модели в расчетах на ЭВМ

Практическое занятие № 2 

тема: Решение ОДУ и краевых задач в MathCad

Выбрать пункт:

Примеры решения краевых задач

Индивидуальные задания

Контрольные вопросы

Примеры решения краевых задач

1. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с учетом граничных условий

Порядок выполнения задания № 1 (Способ 1.)

  Набрать слово Given

  Ниже введенного слова набрать левую часть уравнения

  Выбрать логическое равно “=” из меню “Boolean” математической панели (либо Ctrl+=)

  Ввести правую часть уравнения

  Аналогичным образом набрать граничные условия

     (для набора символа ‘ использовать комбинацию  Сtrl+F7)

  Указать имя искомой функции и присвоить ему найденное решения, возвращаемое функцией

Odesolve (x, b, [step]), где

                    x - имя переменной дифференцирования искомой функции (в данном случае t);

b – максимальное значение изменение переменной x (область поиска решения);

                    [step] – необязательный параметр, указывающий количество шагов внутри указанной

                                 области.

          Например: x :=Odesolve(t,150)

  Построить график полученного решения на интервале от 0 до 150;

Порядок выполнения задания № 1 (Способ 2.)

Приведем данную краевую задачу к виду:

Пусть x0(t)=x(t); x1(t)=x’(t)

         Тогда можно записать:

x0’(t)=x1(t)

  Указать область поиска решения;

     Например:    t0:=0     t1:=150

  Определить вектор начальных условий, в нашем случае их два, значит вектор из двух значений

  Указать число шагов внутри указанной области (количество точек расчета) N:=200;

  Задать вектор производных. Для данной задачи он имеет вид:

(набор индексов в переменной (X₁) осуществлять как обращение к элементу (X_n) матрицы на панели Matrix)

  Найти решение краевой задачи с помощью функции Rkfixed(y, x1, x2, npoints, D), где

y - вектор начальных значений;

x1, x2 – начальная и конечные точки поиска решения;

npoints - количество точек расчета;

D - вектор производных задачи.

Например:

S:=rkfixed(ic,t0,t1,N,D)

               S – возвращаемая матрица значений

  Переопределить матрицу найденных значений:

^-  Выделить вектор независимой переменной (t) T:=S^<0>

-  Выделить вектор значений искомой функции (x(t)) X:=S^<1>

(S^<0> означает обращение в первому (нулевому) столбцу возвращаемой матрицы значений, и

вводится данное обращение через панель Matrix и кнопку M^<>)

  Построить график функции X(T)

  Проверить найденное решение с решением, полученным в результате первого способа решения.

Задание 1: Найти решение граничных задач двумя вышеописанными способами и сравнить найденное решение с точным решением.

1. y’=2x²+2y, y(0)=1 (точное решение y(x)=1.5e^2x-x²-x-0.5)
2. z’’ = z’ +2z, z(0)=1, z’(0)=3

3. Решить систему дифференциальных уравнений с учетом заданных граничных условий

u’’=2v

v’’=4v-2u

c начальными условиями u(0)=1.5, v(0)=1, u’(0)=1.5, v’(0)=1

Порядок выполнения задания  3

Приведем данную краевую задачу к виду:

Пусть y₀(x)=u(x);

y₁(x)=u’(x);

          y₂(x)=v(x);

          y₃(x)=v’(x);

тогда можно записатьy₁’(x)=2y₂(x), y₃’(x)=4y₂(x)-2y₀(x) и соответственно граничные условия.

  Указать область поиска решения;

     Например:   x0:=0     x1:=1

  Определить вектор начальных условий, в нашем случае их два, значит вектор из двух значений

, т.е. указать

  Указать число шагов внутри указанной области (количество точек расчета) N:=20;

  Задать вектор производных. Для данной задачи он имеет вид:

, т.е.

(набор индексов в переменной (X₁) осуществлять как обращение к элементу (X_n) матрицы на панели Matrix)

  Найти решение краевой задачи с помощью функции Rkfixed(y, x1, x2, npoints, D), где

y - вектор начальных значений;

x1, x2 – начальная и конечные точки поиска решения;

npoints - количество точек расчета;

D - вектор производных задачи.

Например:

,

               Z – возвращаемая матрица значений

  Переопределить матрицу найденных значений:

^-  Выделить вектор независимой переменной (x) X:=Z^<0>

-  Выделить вектор значений искомой функции (u(t)) U:=Z^<1>

-  Выделить вектор значений искомой функции (v(t)) V:=Z^<3>

(Z^<0> означает обращение в первому (нулевому) столбцу возвращаемой матрицы значений, и

вводится данное обращение через панель Matrix и кнопку M^<>)

  Построить графики функции U(x) и V(x)

  (для построения на одной координатной оси двух графиков выделить имя первой функции и нажать ‘,’)

Задание 2: Найти решение системы ДУ с заданными граничными условиями вышеописанным способом.

x’=-8x+8y

y’=30x+y-xz

z’=xy-2y

x(0)=-1

y(0)=0

z(0)=1
 

4. Решить краевую задачу 4x’’(t)+x(t)=t, x(0)=4, x(5)=13.5

Порядок выполнения задания

(Способ 1) Применение функции Odesolve (x, b, [step]),

Пример:

Построение графика функции x(t)

______________________________________________________________________________________

(Способ 2) Преобразование краевой задачи к задаче типа Коши (I этап) и ее решение с использованием функции rkfixed() (II этап)

I этап

Для приведения дифференциальной краевой задачи к виду Коши необходимо найти x’(0). Для этого зададим:

-  стартовое значение поиска величины x’(0)

v₀ := 4

-  область поиска решения

t0:=0

t1:=5

-  функцию производных

-  неизвестные начальные условия, которые будут определены в дальнейшем с помощью sbval

-  разницу между вычисленными и заданными значениями x₀