Расчет электростатического поля несоосных параллельных цилиндров (Еr = 1.5; l = 15 м; q = 13 мкКл, D = 64 см)

Расчет электростатического поля несоосных

параллельных цилиндров

1.  Для заданной системы двух параллельных цилиндров , имеющих равные заряды противоположного знака (q₁ = - q₂ ) определить :

a)  емкость ;

b)  напряжение.

При этом поле считать плоскопараллельным.

2.Построить графическую картину электростатического поля , соблю-

дая следующие требования :

a)  разность потенциалов между двумя любыми соседними линиями

равного потенциала должна быть одна и та же ;

b)поток вектора напряженности электростатического поля во всех

силовых трубках должен быть одинаков ;

с)при построении картины поля на каждой линии равного потенциа-

ла указать значение потенциала ; на силовых линиях должно  быть

указано их направление и ограниченное данной линией значение по-

тока напряженности поля, отсчитываемое от некоторой фиксирован- ной линии , принятой за начальную.

3.Вычертить и представить в виде графиков изменение потенциала и

напряженности  электростатического  поля  на  линии, соединяющей

наиболее близкие точки цилиндров, и распределение плотности заряда

на поверхности цилиндра меньшего радиуса.

Исходные данные

e_r = 1.5 ; l = 15 м ; q = 13 мкКл ; R₁ = 26 см ; R₂ = 12 см ; D = 64 см ;

Знак заряда (минус).

Примечание

Знак заряда относится к цилиндру меньшего радиуса.

Выполнение

1.Для заданной системы двух параллельных цилиндров, имею-  щих равные заряды противоположного знака (q₁ = - q₂ ) определим :

a)емкость ;

b)напряжение.

         Считаем  цилиндры  бесконечно  длинными, а поле, создаваемое ими – плоскопараллельным.

         Заменим цилиндры заряженными нитями с линейными зарядами :

         Определим расстояние от осей цилиндров до плоскости нулевого

потенциала.

         Определим расстояние от плоскости нулевого потенциала до

мнимых заряженных осей.

         Определим напряжение между цилиндрами, как разность потен-

циалов  между точками A и B.

где

         Откуда получаем, что

         Емкость найдем из выражения :

   2.Построим графическую картину электростатического поля , соблюдая следующие требования :

a)разность потенциалов между двумя любыми соседними линиями

равного потенциала должна быть одна и та же ;

b)поток вектора напряженности электростатического поля во всех

силовых трубках должен быть одинаков ;

с)при построении картины поля на каждой линии равного потенциа-

ла указать значение потенциала ; на силовых линиях должно  быть

указано их направление и ограниченное данной линией значение по-

тока напряженности поля, отсчитываемое от некоторой фиксирован- ной линии , принятой за начальную.

     Построим эквипотенциальные линии.

     Линии равного потенциала есть окружности сцентрами, лежащи-ми  на линии, соединяющей оси цилиндров.

         Координаты окружностей :

         Радисы находим из выражения:

        

Что бы разность потенциалов между соседними линиями была

постоянной, необходимо, что бы выполнялось следующее условие:

 

         Примем

         Найдем коэффициент геометрической прогрессии.

тогда плучаем, что эквипотенциальные линии будут иметь окружности

радиусами R с координатами (x;0).

	k	j,В	X,м	R,м
1	0.358	-10920.1	0.3248	0.206
2	0.504	-7283.9	0.4224	0.3396
3	0.71	-3640.91	0.7613	0.7186
4	0.999	-10.6	353.12	353.12
5	1.407	3629.96	-0.7642	0.7217
6	1.981	7267.17	-0.4231	0.3404
7	2.789	10903.7	-0.3254	0.2067

         Построим силовые линии

         Силовые линии поля двух параллельных заряженных нитей пред-

ставляет собой окружности с координатами центров :

проходящие через следы нитей в плоскости чертежа.

угол, под которым расстояние между нитями видно из любой точки

линии.

         Так как

         Примем приращение угла равное:

         Тогда получим

	q,град	Y,м	V,В
1	15	0.938	-2720.23
2	30	0.435	-5440.46
3	45	0.251	-8160.7
4	60	0.145	-10880.94
5	75	0.067	-13601.17
6	90	0	-16321.41
7	105	-0.067	-19041.64
8	120	-0.145	-21761.87
9	135	-0.251	-24482.1
10	150	-0.435	-27202.34
11	165	-0.938	-29922.58

     При построении картины поля необходимо учитывать, что внутри цилиндров поле отсутсвует , и следовательно там не сущест-

вует эквипотенциальных и силовых линий.

3. Вычертим и представим в виде графиков изменение потенциала и

напряженности  электростатического  поля  на  линии, соединяющей

наиболее близкие точки цилиндров, и распределение плотности заряда

на поверхности цилиндра меньшего радиуса.

  Изменение потенциала электростатического  поля  на  линии, соединяющей наиболее близкие точки цилиндров.   

     Потенциал в некоторой точке, удаленной на расстояние r₁  и r₁ от

электрических осей цилиндров будет равен:

  

  Примем за начало координат – левую положительную электричес- кую ось t.Тогда координата x будет изменяться от точки А до В.

Тогда получим график функции

   Изменение напряженности  электростатического  поля  на  линии, соединяющей наиболее близкие точки цилиндров.

   Это изменение находим из выражения:

      Из этого имеем график функции:

 Распределение плотности зарядана на поверхности цилиндра

меньшего радиуса.

    Исходя из граничных условий на поверхности раздела проводника

и диэлектрика имеем, что

где u - плотность электрического заряда на поверхности цилиндра.

        Таким образом

        Получим график