Расчет случайной величины попаданий в серии из четырёх бросков баскетболиста

Задача №8.19

Условие: Вероятность попадания мячом в корзину при каждом броске для данного баскетболиста равна 0.4. Случайная величина X – число попаданий в серии из четырёх бросков M[X]=1.6; D[X]=0.96.

Решение:

Вычислим по формуле Бернули возможные значения данной случайной величины:

                   ₀

P(X=0) = C₄*(0.4)⁰*(0.6)⁴=0.1296;

                   ₁

P(X=1) = C₄*(0.4)¹*(0.6)³=0.3456;

                   ₂

P(X=2) = C₄*(0.4)²*(0.6)²=0.3456;

                   ₃

P(X=3) = C₄*(0.4)³*(0.6)¹=0.1536;

                   ₄

P(X=4) = C₄*(0.4)⁴*(0.6)⁰=0.0256;

Проверка:  P₀ + P₁ + P₂ + P₃ + P₄ = 0.1296 + 0.3456 + 0.3456 + 0.1536 + 0.0256 = 1;

Ряд распределения случайной величины:

Вычислим функцию распределения данной СВ:

при xÎ (-¥;0]  F(X) = 0

при xÎ (0;1]    F(X) = 0.1296;

при xÎ (1;2]    F(X) = 0,4752;

при xÎ (2;3]    F(X) = 0,8208;

при xÎ (3;4]    F(X) = 0,9744;

при xÎ (4;+¥] F(X) = 1;

Математическое ожидание функции:

                     _n

M[X]= S x_ip_i = 0*0.1296+1*0.3456+2*0.3456+3*0.1536+4*0.0256=1.6

ⁱ⁼¹

Данная случайная величина имеет две моды: x_mod=2, x_mod=3, т.е. наиболее вероятное число попаданий в корзину равно 2 и 3.

Вычислим дисперсию:

                     _n

D[X]= S x_i²p_i – (M[X])² = 0*0.1296+1*0.3456+4*0.345+9*0.1536+16*0.0256 -1.6²=0.96

ⁱ⁼¹

Среднее квадратичное отклонение:

s[X]= (D[X])^-1 = 0.9798

Т.е. среднее квадратичное отклонение числа мячей, которые попадут в корзину, равно 0.9798