Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли

1.  СХЕМА БЕРНУЛЛИ

2.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ

ИСПЫТАНИЙ

Рассматривается произвольная последовательность независимых испытаний. При этом потребуем выполнения следующих условий.

1. n испытаний проводятся в совершенно одинаковых условиях;

2. Возможным исходом каждого испытания является некоторое событие А, имеющее одну и ту же положительную, не зависящую от номера испытания вероятность:

В этом случае будем говорить, что имеет место последовательность испытаний по схеме Бернулли. Ясно, что при сделанных предположениях каждая последовательность испытаний по схеме Бернулли полностью определяется двумя параметрами: n и  p. Для удобства и простоты записи некоторых формул введем еще одну величину: q = 1 – p  – вероятность того, что в результате  данного испытания   событие  А не наступит:  q =P.

2.2. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА СХЕМУ БЕРНУЛЛИ

 В приложениях  для  схемы Бернулли интерес представляют  следующие вопросы, ответы на которые можно получить   на основании теоремы сложения и теоремы умножения для независимых событий.

Обозначения: 

 –  число реализация события А ( – число “успехов”);

 вероятность того, что в последовательности n испытаний по схеме Бернулли число “успехов” равно m;

  вероятность того, что в последовательности n испытаний по схеме Бернулли число “успехов” меньше m.

1.  вероятность того, что число “успехов” равно 0.

2. –  вероятность того, что каждое испытание завершается “успехом”.

3.  – вероятность того, что число “успехов” равно m.

4.  – вероятность того, что число “успехов”  не меньше  m.

5.   – вероятность соответствующего неравенства  .

      Эти важнейшие для приложений формулы в случае большого числа  n  допускают приближенные выражения, основанные на трех основных предельных теоремах: локальная теорема Лапласа, интегральная теорема Лапласа, теорема Пуассона.

2.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СХЕМЫ БЕРНУЛЛИ

Локальная теорема Лапласа.   Для любого p= P(A),  0 < р < 1, справедливо предельное равенство (используются обозначения, принятые в п.2.2):  

=1,

 где, .

      В приложениях ценность этой теоремы определяется тем, что подсчет вероятностей  можно очень просто выполнять  по следующей приближенной формуле:

.

Применяя эту формулу для приближенных вычислений необходимо учитывать следующие обстоятельства.

1.  Скорость сходимости предельного равенства не высока: порядок ее определяется как  На практике целесообразно ею пользоваться, если каждая из величин   и    не менее 20.

2.  Следовательно, при одном и том же nболее точный результат можно получить для того значения  p,  которое близко к 0,5.

3.  “Опасными”  в смысле точности вычислений являются те критические значения p,  которые  близки к концам отрезка [0, 1].  Для таких значений параметра pследует пользоваться другим предельным равенством, которое составляет содержание следующей предельной теоремы о схеме Бернулли.

Теорема Пуассона. Для серии последовательностей испытаний по схеме Бернулли, если  в каждой серии выполняется условие , справедливо предельное равенство

.

Теорему Пуассона называют теоремой о редких событиях: условие теоремы  () предполагает, что , т.е.

        Вычисление вероятностей   можно получать по формуле

,

когда величина  менее 20.

Интегральная теорема Лапласа.  Для любых   и справедливо предельное равенство:

 = – ,

где   .