Вариант задач и их решения по дисциплине "Высшая математика"

Федеральное агентство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №2

11 вариант

По дисциплине:                                   Высшая математика                              .

(наименование дисциплины согласно учебному плану)

Автор: студент гр. ЭГ-03    ______________   /Шульгина Е. Д,/

                                                                            (подпись)                                   (Ф.И.О.)

ОЦЕНКА:     _____________

Дата: ___________________

ПРОВЕРИЛ: Доцент         ________________  /Лебедев И.А./

                 ^{(должность)                         (подпись)                               (Ф.И.О.)}                             

Санкт-Петербург

2004 год

Задание 1

По шифру  определяем исходные данные:

Возьмем за x₁ количество произведенного товара A, а за x₂ количество товара B, тогда  – план, а целевой функцией является прибыль от продажи обоих товаров:

Сначала решим задачу геометрическим методом.

Для этого сперва надо найти градиент для данной функции: .

После этого составляем неравенства ограничений:

   или

Подставим в каждое из этих неравенств начало координат для определения нужных полуплоскостей. Таким образом, получаем многоугольник, заштрихованный на чертеже. Двигаясь по графику в направлении градиента, мы получаем точку пересечения ребер симплекса (вершину этого симплекса). Для определения ее координат составляем систему уравнений:

Решая ее, получаем координаты вершины симплекса, являющиеся оптимальным планом для данной функции

    

Теперь решим задачу симплексным методом.

Для этого необходимо привести ее к каноническому виду, т.е. задачу максимизации сделать задачей минимизации     , а в матрице ограничений в неравенства надо добавить балансовые переменные для превращения неравенств в уравнения:

         

Получаем план . Так как все коэффициенты  при свободных переменных (x₁ и x₃) неотрицательны, то получаем план , который является оптимальным; так как при свободных переменных (x₁ и x₃) нет коэффициентов , равных нулю, план единственный, а значение целевой функции при нем равно: