Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

Страницы работы

Фрагмент текста работы

12. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

 МЕТОДОМ СЕТОК

12.1. Цель работы

          Целью работы является закрепление знаний, полученных в лекционном курсе «Вычислительная математика» по разделу  «Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных», приобретение навыков использования соответствующих численных методов с применением программных средств автоматизации вычислений.

12.2. Задание.

Найти приближенное решение уравнения Лапласа в заданной области с указанными граничными условиями,  принять  h1=h2=0.1

1.      

2.        

3.   

4.     

5.   

6.   

7.   

8.  

12.3  Теоретические сведения

Уравнение относительно неизвестной функции u(x,y) двух или более независимых переменных , которое содержит частные производные этой функции, называется уравнением в частных производных (УЧП).

В общем виде ДУ второго порядка относительно функции двух независимых переменных  u(x,y) записывается так :

                (12.1)

 Функция F- заданная функция восьми аргументов .

Далее будем рассматривать линейные уравнения второго порядка :

Все коэффициенты и правая часть не зависят от u(x,y).

Методы классификации УЧП :

·  По порядку уравнения ( наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение)

·  По числу переменных ( по числу независимых переменных )

·  По критерию « линейное-нелинейное»

A,B,C,D,E,F,G – константы или заданные функции переменных x,y.

·  По критерию «однородное-неоднородное»

 Однородное , если  G(x,y)≡0 для всех x и y.

Если G(x,y)≠0 – неоднородное .

·  По виду коэффициентов

A,B,C,D,E,F,G – константы – уравнение с постоянными коэффициентами.

Основные типы УЧП :

·  Параболический тип :

 Описывает процессы теплопроводности и диффузии : B2=4AC

·  Гиперболический тип

Описывает колебательные системы и волновые движения : B2>4AC

·  Эллиптический тип

Описывает установившиеся процессы : B2<4AC

Введем понятие оператора  первого и второго порядка :

             

Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа  значит  найти приближенное решение уравнения в области  D  с граничными условиями:

                                                 (12.2)

Искомая функция u(x,y) геометрически представляет собой некую поверхность с границами , заданными в виде функций ψ, которые проецируются на прямые стороны области D.  Внутри поверхности и соответственно внутри прямоугольника значения u(x.y)  неизвестны .

                                                         Рис.12.1

Сплошными линиями показаны граничные функции в пространстве, пунктиром -  их проекции на стороны области  D . Пусть l1=l2

          Введем в рассмотрение узловые значения аргументов x и  y  с шагом h , тем самым переходя к дискретному аналогу непрерывной задачи.

                               (12.3)

Тогда                        (12.4)

В каждом узле заменяем частные производные второго порядка разностными соотношениями :

                  (12.5)    

Выполненные замены позволяют свести решение уравнений с частными производными к решению системы разностных уравнений.

    (12.6)

Уравнение (12.6)  вместе со значениями  uij  в граничных узлах есть система линейных алгебраических уравнений относительно значений функции u=u(x,y) в узлах сетки. Погрешность замены ДУ составляет величину О(h2).

Для уравнения Лапласа система может быть записана в виде:

                                  

В данной работе система решается методом простых итераций по формулам:          

В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять:             

Данная разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Это означает , что выбрав достаточно малый шаг h можно сколь угодно точно численно решить исходную задачу.

12.4  Пример выполнения задания

Найти решение задачи Дирихле  для уравнения Лапласа :

Нумерация элементов матриц начнется   с  1

Краевые функции

Количество   узлов

Краевые элементы матрицы искомой  поверхности

Для начала расчета зададим начальное приближение  , то есть вектор в каждом слое. Рассмотрим слой с  точками  (0,0.1) и (1,0.1).

u(1,0.1)

                                                               Рис. 12.1

            Первоначально считаем, что изменение функции происходит равномерно , т.е. с некоторым постоянным шагом :

u1,2 = ψ1(0,0.1)=0.01   ,      u11,2 = ψ2(1,0.1)=1.241

отрезок разбит на 10 частей , следовательно изменения значения функции происходит на каждом шаге на величину 

Тогда получаем, что

 Только внутренние элементы матрицы

          Сделав такое предположение, мы получаем полностью заполненную матрицу u , при этом надо помнить , что это только начальные (стартовые

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
215 Kb
Скачали:
0