Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

12. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

 МЕТОДОМ СЕТОК

12.1. Цель работы

          Целью работы является закрепление знаний, полученных в лекционном курсе «Вычислительная математика» по разделу  «Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных», приобретение навыков использования соответствующих численных методов с применением программных средств автоматизации вычислений.

12.2. Задание.

Найти приближенное решение уравнения Лапласа в заданной области с указанными граничными условиями,  принять  h₁=h₂=0.1

12.3  Теоретические сведения

Уравнение относительно неизвестной функции u(x,y) двух или более независимых переменных , которое содержит частные производные этой функции, называется уравнением в частных производных (УЧП).

В общем виде ДУ второго порядка относительно функции двух независимых переменных  u(x,y) записывается так :

                (12.1)

 Функция F- заданная функция восьми аргументов .

Далее будем рассматривать линейные уравнения второго порядка :

Все коэффициенты и правая часть не зависят от u(x,y).

Методы классификации УЧП :

·  По порядку уравнения ( наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение)

·  По числу переменных ( по числу независимых переменных )

·  По критерию « линейное-нелинейное»

A,B,C,D,E,F,G – константы или заданные функции переменных x,y.

·  По критерию «однородное-неоднородное»

 Однородное , если  G(x,y)≡0 для всех x и y.

Если G(x,y)≠0 – неоднородное .

·  По виду коэффициентов

A,B,C,D,E,F,G – константы – уравнение с постоянными коэффициентами.

Основные типы УЧП :

·  Параболический тип :

 Описывает процессы теплопроводности и диффузии : B²=4AC

·  Гиперболический тип

Описывает колебательные системы и волновые движения : B²>4AC

·  Эллиптический тип

Описывает установившиеся процессы : B²<4AC

Введем понятие оператора  первого и второго порядка :

Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа  значит  найти приближенное решение уравнения в области  D  с граничными условиями:

                                                 (12.2)

Искомая функция u(x,y) геометрически представляет собой некую поверхность с границами , заданными в виде функций ψ, которые проецируются на прямые стороны области D.  Внутри поверхности и соответственно внутри прямоугольника значения u(x.y)  неизвестны .

                                                         Рис.12.1

Сплошными линиями показаны граничные функции в пространстве, пунктиром -  их проекции на стороны области  D . Пусть l₁=l₂

          Введем в рассмотрение узловые значения аргументов x и  y  с шагом h , тем самым переходя к дискретному аналогу непрерывной задачи.

                               (12.3)

Тогда                        (12.4)

В каждом узле заменяем частные производные второго порядка разностными соотношениями :

                  (12.5)    

Выполненные замены позволяют свести решение уравнений с частными производными к решению системы разностных уравнений.

    (12.6)

Уравнение (12.6)  вместе со значениями  u_ij  в граничных узлах есть система линейных алгебраических уравнений относительно значений функции u=u(x,y) в узлах сетки. Погрешность замены ДУ составляет величину О(h²).

Для уравнения Лапласа система может быть записана в виде:

В данной работе система решается методом простых итераций по формулам:          

В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять:             

Данная разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Это означает , что выбрав достаточно малый шаг h можно сколь угодно точно численно решить исходную задачу.

12.4  Пример выполнения задания

Найти решение задачи Дирихле  для уравнения Лапласа :

Для начала расчета зададим начальное приближение  , то есть вектор в каждом слое. Рассмотрим слой с  точками  (0,0.1) и (1,0.1).

u(1,0.1)

                                                               Рис. 12.1

            Первоначально считаем, что изменение функции происходит равномерно , т.е. с некоторым постоянным шагом :

u_1,2 = ψ1(0,0.1)=0.01   ,      u_11,2 = ψ2(1,0.1)=1.241

отрезок разбит на 10 частей , следовательно изменения значения функции происходит на каждом шаге на величину 

Тогда получаем, что

          Сделав такое предположение, мы получаем полностью заполненную матрицу u , при этом надо помнить , что это только начальные (стартовые