Математика \ Вычислительная математика

Знакомство с методом Монте-Карло, как численным методом решения математических задач при помощи моделирования случайных величин

Страницы работы

6 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

15. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

15.1 Цель работы

Целью работы является знакомство с методом Монте-Карло , как численным методом решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

15.2 Задания

Найти объем тела , заданного ограничивающими его поверхностями.

Таблица 15.1

№ п/п	поверхность 1	поверхность 2	поверхность 3	поверхность 4
1	у=16√2х	у=√2х	z=0	x+z=2
2	у=5√х	у=5∕3	z=0	z=5+5∕3√х
3	у=√х	x+у=2	z=0	z=12у
4	х=√у	х+у=2	z=0	z=12х∕5
5	у=√2х	х+у=4	z=0	z=3у
6	х=19√2у	х=4√2у	z=0	z+у=2
7	у=√3х	х+у=6	z=0	z=4у
8	х=√3у	х+у=6	z=0	z=4х/5
9	х=√2у	х=16√2у	z=0	z+у=2
10	х=2√2у	х=17√2у	z=0	z+у=0,5
11	у=√4у	х+у=8	z=0	z=3у
12	у=5∕3√х	у=5х/9	z=0	z=5/9(3+√х)

15.3 Теоретические сведения

В основе многих физических явлений , таких, как молекулярное движение, лежат случайные процессы. Их закономерности подтверждаются при большом количестве опытов, теоретически бесконечном. Любой статистический эксперимент может быть осуществлен не чисто физическими средствами, а средствами вычислительной техники. Кроме того, вместо решении аналитической задачи можно моделировать случайный процесс и использовать статистические оценки вероятностей и средних статистических данных или, так называемых, математических ожиданий и других моментов для приближенного решения данной аналитической задачи.

Подчеркнем особенности метода:

1) простая структура вычислительного алгоритма,

2) погрешность вычислений – чаще она пропорциональна , где D=const, N- число испытаний. Из неравенства Чебышева видим, что в зависимости от требуемой точности ε следует провести N испытаний:

, где γ находится из соотношения

Если P- заданное значение вероятности , то :

P=0,9 → γ=0,1736

P=0,99 → γ=0,1897

P=0,999 → γ=0,1914

Например : для Р = 0,99 и ε=10^-3 можно найти N при D=1∕12.

Метод Монте-Карло особенно эффективен для решения таких задач в которых результат нужен с небольшой точностью. Для решения задач методом Монте-Карло необходимо иметь источник случайных чисел. Обычно используют для этого аналитический способ получения псевдослучайных чисел, как наиболее простой и быстро реализуемый на компьютере. Единственный недостаток этого метода – ограниченность запаса псевдослучайных чисел. Исходной случайной величиной при использовании метода Монте-Карло является одномерная равномерная распределенная на промежутке [0,1] случайная величина α, т.е. случайная величина с плотностью распределения

Имея в распоряжении реализацию случайной величины α можно получить реализацию случайной величины с заданным законом распределения. Пусть ξ распределена по закону F_ξ(x), тогда ξ= F^-1_ξ(α).

Например :

1) , тогда .

2) Если ξ распределена по нормальному закону, имеющему среднее значение равное 0 и дисперсию равную 1 , то практически

Аналогично можно реализовать дискретные и многомерные случайные величины.

Рассмотрим вычисление интегралов методом Монте-Карло:

1) Имеется алгоритм моделирования случайной величины, распределенной по закону F(x), тогда

где х_i- независимые реализации случайной величины с распределением F(x) . Погрешность этого метода убывает несколько медленнее , чем N^-½.

2) В этом случае разыгрывается две случайные величины равномерно распределенные α

и β

0 a b x

f(x)

Из N реализаций (α, β) в заштрихованной части оказалось m реализаций , тогда

Рис.15.1

Интеграл оценивается с той же погрешностью, что и в случае (1).

3) В случае двойного интеграла имеем :

V- объем цилиндрического тела , содержащего искомый объем ; N–количество реализаций (где α это равномерно распределенная случайная величина, принадлежащая интервалу [a,b] для переменной х; β для переменной γ; γ для переменной z ); m – количество реализаций ,попавших во внутреннюю часть искомого объема.