Расчет структурной надежности системы (наработка исходной системы составляет 90%)

Цель работы: получение навыков преобразования сложных технических систем и расчета сложных систем с комбинированным соединением элементов, овладение методами повышения надежности систем.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К РАБОТЕ

По структурной схеме надежности системы в соответствии с вариантом задания и по требуемому значению вероятности безотказной работы системы ρ и значениям интенсивности её отказов λ_ί требуется:

1. построить график изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки в диапазоне снижения вероятности до уровня 0,1-0,2;

2. определить ρ-процентную наработку системы;

3. обеспечить увеличение ρ-процентной наработки не менее чем в 1,5 раза за счет:

- повышения надежности элементов;

- структурного резервирования элементов системы.

Численные значения параметров

Рисунок 1 – Структурная схема надежности

ХОД РАБОТЫ

1. В исходной схеме элементы 2,3 и 4 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом А, учитывая, что p₂=p₃=p₄, получим

p_A = 1-q₂q₃q₄=1-q₂³=1-(1-p₂)³

2. Элементы 5 и 6 образуют параллельное соединение , заменив которое квазиэлементом В и учитывая, что р₅=р₆=р₂, получим

Р_В= 1-q₅q₆=1-q₂²=1-(1-p₂)²

3.Элементы 8,9 образуют параллельное соединение, заменив которое квазиэлементом С, учитывая, что р₈=р₉=р₂, получим

р_С= 1-q₈q₉=1-q₂²=p_В

4. Элементы 10,11,12 также образуют параллельное соединение, заменив которое квазиэлементом D, учитывая, что р₁₀=р₁₁=р₁₂=р₂, получим

р_D= 1-q₁₃q₁₄q₁₅=1-q₂³=1-(1-p₂)³=p_A

5. Элементы 13,14 и 15 образуют соединение «2 из 3». Так как р₁₃=р₁₄=р₁₅, то для определения ВБР элемента М воспользуемся комбинаторным методом:

Р_m= ∑³_k=2 p_k= ∑³_k=2 C^k₃ p^k₁₃ (1- p₁₃)^3-k= C²₃ p²₁₃ (1- p₁₃)^3-2 + C³₃ p³₁₃ (1- p₁₃)^3-3= = 3!/2!(3-2)! · p²₁₃ (1- p₁₃) + 3!/3!(3-3)! · p³₁₃ (1- p₁₃) - p³₁₃= (3·2·1)/(3·2·1) · p²₁₃ (1- p₁₃)⁰· p³₁₃= 3 p²₁₃ -2p³₁₃   =

Преобразованная схема изображена на рисунке 1.1

6. Элементы А, В, 7, С, D образуют мостиковую систему, которую можно заменить квазиэлементом N. Для расчета ВБР воспользуемся методом разложения относительно особого элемента, в качестве которого выберем элемент 7. Тогда:

Р_n= p ₇ Р_n ( p ₇=1)+ p ₇ Р_n ( p ₇=0), где

Р_n ( p ₇=1)-ВБР мостиковой схемы при абсолютно надежном элементе 7

Р_n ( p ₇=0)- ВБР мостиковой схемы при отказавшем элементе 7

Преобразование мостиковой схемы при абсолютно надежном и отказавшем элементе 7 изображено на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 Преобразование мостиковой схемы

7. Учитывая, что р_В=р_С, р_А=р_D получим:

Р_n= p ₇ [1-(1-p_А)(1-p_В)] · [1-(1-p_С)(1-p_D)] + (1+p₇) [1-(1-p_А p_В)(1-p_С p_D)]

8. После преобразований схема изображена на рисунке 1.3

9. В преобразованной схеме элементы 1, M, N образуют последовательное соединение. Тогда ВБР всей системы

р= р₁ р_N р_M

10. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то ВБР элементов 1-15 подчиняются экспоненциальному закону:

Р_i = exp(-λ_ί t)

11. Результаты расчетов ВБР элементов 1-15 исходной схемы по формуле Р_i = exp(-λ_ί t) для наработки до 3·10⁶  часов  представлены в виде таблицы 1.

Таблица 1 – Расчет безотказной работы системы

12. На рисунке 1.4 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы Р от времени наработки t.

Рисунок 1.4

13. По графику находим для γ=90% (Р_γ =0,9) γ- процентную наработку системы Т_γ = 0,6·10⁶  ч.

14. проверочный расчет при  t = 0,6·10⁶  ч показывает, что Р_γ=0,89705≈0,9.

15. По условиям задания повышенная γ- процентная наработка системы Т_γ′ = 1,5 Т_γ =1,5· 0,6·10⁶ = 0,9·10⁶  ч.

16. Расчет показывает, что при t = 0,9·10⁶  ч для элементов преобразованной схемы р₁= 0,913931, р_N = 0,8235,  р_М = 0,9993. Следовательно, из трех последовательно соединенных элементов минимальное значение ВБР имеет элемент N. Следовательно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

17. Для того, чтобы при Т_γ′ = 0,9·10⁶ ч система в целом имела ВБР Р_γ=0,9, необходимо, чтобы элемент N имел ВБР:

р_N =р_γ / р₁р_М=0,9/0,913931*0,9993=0,9854.

При данном значении ВБР элемент N надежен, однако, чтобы повысить надежность системы необходимо увеличить надежность двух элементов: 1 и N.

18. Для определения минимально необходимой вероятности безотказной работы элементов необходимо решить уравнение из седьмого пункта относительно р₂ при р_N=0,9854. Поскольку аналитический метод является более сложным, то целесообразнее воспользоваться графическим методом. Для этого по данным таблицы строим график зависимости