Расчет вероятности записи последовательностью номеров 1, 2, … 20. Расчет вероятности того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника

Страницы работы

Фрагмент текста работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ  ТРАНСПОРТА

Кафедра “Прикладная математика ”

Расчётно-графическая работа №1

Выполнил:                                                                               Проверил:

студент гр. УД-21                                                                   преподаватель

Савкин С.А.                                                                             Евдокимович В.Е.

Гомель 2004

Задача №1

          Вероятностный эксперимент состоит в том, что внутри квадрата выбирается наугад точка. Рассмотрим три события:

                                   Решение

А= { выбранная точка лежит внутри круга А },

B= { выбранная точка лежит внутри круга В },

C= { выбранная точка лежит внутри круга С },

                                                                                           __   _           _                ____      ______

Заштриховать области соответствующие событиям:  АВ· С,    А+В-С,    А·  (В-С),    А· В-С.

1.

    

                               __                                                           __    _

                              АВ                                                          АВ· С

2.

                               _                                                               _

                          А+В                                                         А+В-С 

3.

              

                            _____                                                               ____

                            (В-С)                                                          А· (В-С)            

4.

      

                                                                                                 ______

                           А·В                                                                А·В-С.

                                Задача№2

    Из урны, содержащей 20 пронумерованных шаров, наугад вынимается 20 шаров. После каждого вынимания шар возвращается в урну и перемешивается с другими, а номер его записывается. Найти вероятность того, что будет записана последовательность номеров   1, 2, … 20.

                                                  Решение

               Е: Извлечение шаров из урны в определенной последовательности

               А: {Шары извлекаются в последовательности от 1 до 20 }

               Р(А)-?

Пространство элементарных событий  Ω конечно

                                                       ___

                                     Ω = { ω | i=1,n}         

где элементарное событие

 ω = {выбрано 20 шаров из 20}

Число n элементарных событий пространства Ω – это число различных комбинаций шаров

  ~    

  

Событию А соответствует                                          

                                  

Найдем вероятность события А

Ответ:  - это вероятность записи номеров 1, 2, … 20.

                                Задача№3

     Внутрь круга радиуса R наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника.

                                                 Решение

      Е: бросание точки в круг

      А:{ точка оказывается внутри вписанного в круг правильного треугольника}

      Р(А)-?

   Данную задачу возможно решить геометрическим методом. Естественно, что пространством Ω элементарных событий этого эксперимента является площадь круга S1, тогда событию А соответствует площадь треугольника S2.Следовательно, вероятность события А можно найти из следующей формулы

                                          Р(А)=S2/S1

   Запишем формулы для нахождения S2 и S1.

                                       

   Находим вероятность попадания точки в треугольник

                                       

Ответ: Р(А)=0,41.

                                Задача№4

      Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора – 0,05, второго – 0,08. Найти вероятность того, что при включении прибора выйдет из строя только первый элемент.

                                                        Решение

     Е: включение прибора

     А={выход из строя первого элемента}=0,05

     В={выход из строя второго элемента}=0,08

     С={выход из строя только первого элемента}

     Р (С)-?

Очевидно, что условие задачи выполнится если произойдет событие А , и одновременно не произойдет событие В , т. е.

                                                         _                     _

                                         Р(С)=Р(АВ)=Р(А) Р(В)=0,05· (1-0,08)=0,046

Ответ: Р(С)=0,046.

                                Задача№5

       Стрелок попадает в мишень, разделенную на 3 непересекающиеся части. Вероятность попадания в первую часть 0,45, во вторую 0,35. Найдите вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает либо в первую, либо во вторую часть.

                                                      Решение

      Е: попадание в мишень

     А={попадание в первую часть}=0,45

     В={попадание во вторую часть}=0,35

     С={попадание в третью часть}=1-(0,45+0,35)=0,2

     Р(А U В)-?

    Событие А не зависимо от события В, т. к. вероятность А не изменится при наступлении В, тогда

        Р(А U В)=Р(А)+Р(В)=0,45+0,35=0,8

Ответ: Р(А U В)=0,8.

Задача№6

Происходит бой между двумя самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель: он дает по бомбардировщику один выстрел и сбивает его с вероятностью 0,75. Если бомбардировщик этим выстрелом не сбит, он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью 0,7. Если истребитель не сбит, он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что сбит бомбардировщик. Р=0,795.

                                                      Решение

Е: дуэль двух самолетов

А={поражение истребителя}

В={поражение бомбардировщика}        

Р(А)-?

Р(В)-?

Для выполнения А необходимо совмещение (произведение) двух событий

                             Р(А)=0.25·0.7=0.175

Для выполнения В необходимо выполнение двух несовместных событий

В1={ поражение бомбардировщика первым выстрелом истребителя}                   

В2={ поражение бомбардировщика вторым выстрелом истребителя}                   

                                 Р(В)= Р(В1)+ Р(В2)

Р(В1)=0,75

Р(В2) состоит из трех совместных событий:

1)первый выстрел истребителя не поражает бомбардировщик(0.25)

2) ответный выстрел бомбардировщика не поражает истребитель(0.3)

3) второй выстрел истребителя поражает бомбардировщик(0,6)

Р(В2)=0,25·0,3·0,6=0,045

Р(В)= 0,75+0,045=0,795

Ответ: Р(В)= 0,795

                                Задача№7

Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наугад взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность, что эта деталь произведена первым автоматом.

                                                      Решение

Е: выбор детали из общего количества

А={выбранная деталь отличного качества }

В={выбранная деталь отличного качества и произведена первым автоматом}

Р(В)-?

Среди общего количества деталей 2/3 – это детали произведенные первым автоматом, а 1/3 – вторым.

Рассмотрим две гипотезы:

    Н1={деталь произведена первым автоматом}

    Н2={деталь произведена вторым автоматом}

Следовательно, Р(Н1)=2/3, Р(Н2)=1/3.

    Р(А| Н1)=0.6, Р(А| Н2)=0.84

Искомая вероятность

                                                       Р(Н1) ·Р(А| Н1)                                  2/3·0,6

                  Р(Н1|А)=Р(В)= ---------------------------------------------- = ------------------------ =0,58

                                                 Р(Н1) · Р(А| Н1)+ Р(Н2) · Р(А| Н2)        2/3·0,6+1/3·0.84

Ответ: Р(В)=0,58.

                                Задача№8

При осмотре в парке отправления составов в каждом из них с вероятностью 0,3 обнаруживаются вагоны, требующие ремонта. Определить наивероятнейшее число составов, в которых есть такие вагоны, если в сутки со станции отправляется 100 поездов.

 Решение

Е: проверка вагонов

А={обнаружение вагона, требующего ремонта}

Р(А)=0,3

n=100

         k-наивероятнейшее число составов в которых есть вагоны, требующие

Похожие материалы

Информация о работе