Расчет вероятности выхода пассажиров из лифта на одном этаже. Определение вероятности того, что участок АС поезд пройдет без остановки

{длинна меньший обломка не превосходит 1/3 длины стержня}

Пространство элементарных исходов в этом случае будет состоять из трёх равновероятных исходов:

, где

w₁  = { разлом произошел на отрезке от 0 до 1/3 длины стержня },

w₂  = { разлом произошел на отрезке от 1/3 до 2/3 длины стержня },

w₃  = { разлом произошел на отрезке от 2/3 до длины стержня },

Интересующему нас событию. А благоприятны два элементарных исхода, т. е. .

Применим  классический метод вычисления вероятностей. Исходя из него вероятность возникновения события А равна

Ответ:

Задача №4

На участке АВ движения поезда имеется 12 светофоров. Вероятность остановки перед каждым из них равна 0.1. Вероятность того, что от пункта В до конечного пункта С поезд пройдет без остановки, равна 0.7. Определить вероятность того, что участок АС поезд пройдет без остановки.

Решение.

Рассмотрим вероятность того, что поезд не остановится перед любым светофором, она равна Р_i = 1-0.1 = 0.9. Поскольку чтобы пройти участок АВ без остановки поезд не должен остановится не перед одним светофором, то вероятность того, что поезд не остановится на участке АВ, равна .

Исходя из сказанного, делаем вывод, что вероятность того, что поезд не остановится на участке АС, равна , где Р_ВС  есть вероятность прохода поездом участка ВС без остановки.

Рассчитаем перечисленные вероятности:

          Р_АВ = 0.9*0.9*..*0.9 = 0.9¹² = 0.282429536

          = 0.282429536*0.7 = 0.1977

Ответ: Р_АС = 0.1977

Задача №5

Игра между А и В ведётся на следующих условиях: в результате первого хода, который всегда делает А, он может выиграть с вероятностью 0.3. Если первым ходом А не выигрывает, то ход делает В и может выиграть с вероятностью 0.5. Если в этом ходу В не выиграет, то А делает второй ход, который может привести к выигрышу с вероятностью 0.4. Определить вероятность выигрыша В.

Решение.

Поскольку вероятность выигрыша А на первом ходу равна 0.3, то вероятность того, что А не выиграет равна P_!A = 1-0.3 = 0.7. Отсюда можем сделать вывод, что В выиграет с вероятностью равной произведению вероятности того что не выиграет А и заданной в условии вероятности выигрыша В при условии что А не выиграл на первом ходу.

Значит:

          P_B = P(B|A) Ç P_!A  = 0.5*0.7 = 0.35

Ответ: Р_В = 0.35

Задача №7

В тире имеется девять ружей, из которых пристрелянными являются только два. Вероятность попадания в цель из пристрелянного ружья равна 0.8, а из не пристрелянного – 0.1. Выстрелом из одного наугад взятого ружья мишень поражена. Определить вероятность того, что взято пристрелянное ружьё.

Решение.

В результате проведения вероятностного эксперимента было выяснено что событие А = {выстрелом из выбранного наугад ружья цель поражена} выполнилось. В связи с этим можно выдвинуть две гипотезы:

H₁ = {было выбрано пристрелянное ружьё},

H₂ = {было выбрано не пристрелянное ружьё}.

Исходя из сделанных предположений, по формуле Байерса, можем найти вероятность того, что было выбрано пристрелянное ружьё. Для того чтобы применить формулу Байерся произведём следующие расчеты:

Исходя из условия Р(H₁) = 2/9 = 0.(2), Р(H₂) = 7/9 = 0.(7), Р(А| H₁) = 0.8,

Р(А| H₁) = 0.1.

Применим формулу Байерса:

Ответ: P(H1|A) = 0.695652173

Задача №8

Вероятность попадания стрелком в десятку равно 0.7, а в девятку – 0.3. Определить вероятность того, что данный стрелок при трех выстрелах наберёт не менее 29 очков.

Решение.

Рассмотрим данный эксперимент. Стрелок наберёт 29 или 30 очков только в следующих случаях:

1)  Если он поразит десятку со всех трёх выстрелов.

2)  Если с двух выстрелов он поразит десятку, а с одного – девятку, причем делать он это может в любом порядке.

Отсюда вытекает, что вариантов набора может быть всего четыре. Поэтому вероятность мы можем рассчитать по формуле:

,

где Р₁₀ = 0.7 – вероятность поразить десятку, Р₉ = 0.3 – вероятность поразить девятку. Подставив в данную формулу заданные значения вероятностей, получим Р – искомую вероятность.

Ответ: P = 0.784

Задача №9

Депо производит ремонт вагонов. Вероятность того, что ремонт будет произведён со сдачей с первого предъявления, равна 0.8. Найти вероятность того, что из ста вагонов, отремонтированных в депо:

а)  ровно 50 вагонов будут сданы с первого предъявления;

б)  от 40 до 80 вагонов будут сданы с первого предъявления;

Решение.

По условию задачи проводятся n = 100 независимых испытаний, проверяется качество ремонта, и вероятность появления «успеха» ( ремонт произведён со сдачей с первого предъявления) в каждом испытании Р = 0.8; соответственно вероятность «неудачи» Q = 1-P = 1-0.8 = 0.2. Для  нахождения искомой вероятности события

а) A = { ровно 50 вагонов будут сданы с первого предъявления