Методические рекомендации для подготовки ряда уроком по математике, страница 3

Естественно, что учащиеся отнесутся к данному утверждению с недоверием. Для того чтобы подозрение в неверности утверждения было снято, его нужно доказать (нестандартность объекта влечет за собой необходимость его доказательства).

4. Провести доказательство последовательно и четко. Учащиеся должны усвоить, что теорема доказывается не на основании опыта, а путем правильного рассуждения.

К работе по доказательству можно привлечь учащихся. Например, каждое сказанное учителем предложение, содержащееся в доказательстве , должно быть обосновано учащимися с помощью введенных аксиом. Такая работа позволит школьнику прочувствовать необходимые требования, которые следует предъявлять к доказательству теоремы.

5. Обратить внимание учащихся на то, что два разных утверждения “прямая состоит из точек” и “каждая прямая инцидентна, по крайней мере, трем точкам” являются справедливыми. Но одно из них имеет место в евклидовой геометрии, а другое – в геометрии, которую мы строим.

6. Попросить  учащихся  применить  принцип  двойственности  к теореме 2.1,получив тем самым теорему 2.2.

Теорема. Каждая точка инцидентна, по крайней мере, трем прямым.

7. Ввести аксиому А. Для обоснования необходимости введения данной аксиомы обсудить вопрос, невольно возникающий при чтении теорем 2.1 и 2.2: “Сколько всего точек может быть инцидентно прямой, сколько всего прямых может быть инцидентно точке?”

А.Существует прямая, инцидентная (q + 1) точке, где q – некоторое подходящее натуральное число (q  2).

Задать вопрос: “Почему q не может быть равно 1?”

8. Попросить учащихся применить принцип двойственности к аксиоме А и получить новое утверждение: “Существует точка, инцидентная (q + 1) прямой, где q – некоторое подходящее число (q  2).”

Занятие 4.

Цель: Доказать теорему, утверждающую, что все прямые инцидентны

(q + 1) точке.

1. Вспомнить известные учащимся аксиомы той геометрии, которую они строят совместно с учителем.

2. Обратить внимание на аксиому А, в которой говорится о существовании некоторой прямой, инцидентной конечному числу точек. Содержание этой аксиомы ведет к возникновению вопроса: “Сколько точек инцидентно каждой прямой?” Таким образом, появляется необходимость в доказательстве теоремы 2.3.

3. Сформулировать теорему 2.3.

Теорема. Каждая прямая инцидентна (q + 1) точке.

При доказательстве теоремы учесть пожелания, описанные в занятии 3. Важно, чтобы учащийся умел обосновывать каждое последующее предложение доказательства. Всякая изученная теорема должна войти в сознание ученика как некоторое средство дальнейшего познания геометрических зависимостей, то есть ученик должен уметь применить изученную теорему к доказательству других теорем..

4. Попросить учащихся  сформулировать теорему 2.4 двойственную теореме 2.3.

Теорема 2.4. Каждая точка инцидентна  (q + 1) прямой.

5. Совместно с учащимися обсудить название геометрии, в основе которой лежат аксиомы А- А. Выбор названия “Конечные геометрии” обосновать тем, что каждая прямая инцидентна конечному числу точек, а каждая точка – конечному числу прямых.

6. Попросить учащихся указать главные отличия евклидовой геометрии от конечных геометрий.

Занятие 5.

Цель: 1. Установить количество точек и прямых конечной проективной плоскости данного порядка.

2. Познакомить учащихся с таблицей инцидентности.

1. Предложить учащимся зафиксировать какое – нибудь число q, например, q = 2 –минимальное число, для которого следует попытаться построить соответствующую геометрию.