Математическая статистика: Методические указания для дистанционного обучения

число степеней свободы определяется способом нахождения  , точнее способом нахождения .

Лучшим способом является нахождение  по параллельным опытам (опытам, поставленным в одной точке). В этом случае

                                      ,                                                          (9)

где  - -е значение  в точке  ,    – число повторных наблюдений в точке ,      -  число точек, в которых проводятся повторные опыты.

Тогда величина     имеет -распределение с   степенями свободы. Доверительный интервал для  , соответствующий доверительной вероятности , имеет вид

                                ,

где  -  значение , при котором .

       Замечание. Если параллельных опытов нет, то оценка   может быть найдена следующим образом. Пусть  - предсказанное значение  данного , когда  определены, т. е. .

В качестве оценки  может быть принято следующее отношение:

                                               .                                        (10)

Сумма   имеет  степени свободы, т. к. по данным испытаний  определяются  два  коэффициента.  Величина    в  этом  случае имеет -распределение с   степенями свободы.

Доверительный интервал для   можно использовать для проверки гипотезы . Если доверительный интервал, соответствующий доверительной  вероятности , содержит значение , то гипотеза  не отвергается на уровне значимости .  В частности доверительный интервал может быть использован для проверки гипотезы . Если гипотеза  отвергается, то параметр  называется значимым. Аналогичными рассуждениями можно получить доверительный интервал для

                      ,

где  определяется способом нахождения .

Интерес для практики представляет доверительный интервал для линии регрессии. Для его построения необходимо знать оценку дисперсии . ,     где    определяется по формуле (9) или (10).

Доверительный интервал для   имеет вид

                                            .                                           (11)

Доверительная зона (11) определяет  местоположение  линии  регрессии, а  не  воз-

можных значений зависимой переменной. Доверительный интервал для значений  определяется по формулам

                                              .

Проверка модели на адекватность

Проверить модель на адекватность можно сравнивая  -дисперсию, характеризующую разброс значений  около линии регрессии (10), и  – дисперсию, характеризующую ошибку опыта (9).

Для проверки используется отношение , имеющее в случае адекватности модели -распределение с  степенями свободы. Если , где  - критическое значение, соответствующее уровню значимости , то нет оснований сомневаться  в адекватности  модели.  В  этом  случае    

так же, как и , может служить оценкой неизвестной . Если же , то гипотеза об адекватности модели отвергается на уровне значимости .

Замечание 1. Проверить модель на адекватность можно, расщепляя сумму квадратов  на сумму квадратов, связанную с чистой ошибкой опыта, и на сумму квадратов, связанную с неадекватностью.

Отношение   имеет -распределение с ,  степенями свободы,

если модель корректна. Критическая область выбирается аналогично предыдущему варианту.

Замечание 2. Если нет возможности оценить чистую ошибку опыта по параллельным опытам, то проверить модель на адекватность можно следующим образом. Построить линейную модель первого порядка и найти остаточную сумму квадратов  с числом степеней свободы . Затем построить линейную зависимость второго порядка и найти остаточную сумму квадратов  с числом степеней свободы . Тогда сумма квадратов  будет иметь  степень свободы. В качестве критерия проверки гипотезы об адекватности рассматривается  отношение ,

имеющее   -распределение  с   ,    степенями  свободы,  если  справедлива

гипотеза о несущественности криволинейности.

Заключение

 При использовании аппарата математической статистики, в частности регрессионного анализа, надо иметь ввиду, что, во-первых, никакие статистические методы не улучшают плохих наблюдений и, во-вторых, глубоко ошибочным является весьма распространенное убеждение о том, что в результате статистической обработки данных выводится функциональная зависимость.

Интерпретация полученного уравнения регрессии во многом зависит от априорных знаний о специфике явления, для математического описания которого привлечен регрессионный анализ. В связи с этим повышается роль экспериментатора (исследователя), обязанного вникнуть в механизм явления, собрать все сведения о круге факторов, оказывающих влияние