Исследование законов распределения случайных процессов, страница 3

где s_ш² — дисперсия шума; I₀ — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента.

Распределение (3.3) также называют обобщенным распределением Релея. При отсутствии сигнала распределение (3.3) принимает вид

      ,  так как  I₀ = 1.               (3.4)

Полученная зависимость носит название «распределение Релея» и описывает плотность вероятностей огибающей нормального шума.

Введем обозначения: u_с.ш /s_ш = h;  u_с /s_ш = q;  u_ш /s_ш = z.

Тогда (3.3) и (3.4) примут вид

;                           (3.5)

.                                                  (3.6)

На рис. 3.2 приведены зависимости j(h) и j(z). При увеличении q кривая j(h) смещается вправо, приближаясь к нормальному закону распределения.

С учетом (3.1), (3.2) и (3.5), (3.6) выражение для вероятности ошибки при некогерентном приеме простых АМ-сигналов можно записать в виде

.   (3.7)

Выражение для оптимального порога можно получить, исследуя функцию (3.7) на минимум. Однако эту задачу можно решить проще. Минимальное значение вероятности ошибки обеспечивается при выборе порога на пересечении кривых j(z) и j(h). Любое изменение порога увеличивает полную вероятность ошибки на значение, соответствующее площади зачерченного криволинейного треугольника. Анализ различных способов модуляции при некогерентном приеме двоичных сигналов показывает, что для достаточно больших отношений сигнал/шум (h > 4) и оптимальном пороге вероятность ошибки будет определяться следующими выражениями:

при приеме АМ-сигналов ;

при приеме ЧМ-сигналов ;

при использовании относительной фазовой модуляции .