Вычисление интеграла методом прямоугольников

Вычислить интеграл:  ∫²₁  x*log₂(x)dx

Для вычисления интеграла будем пользоваться методом прямоугольников.

Метод:

Подынтегральная функция F(x) заменяется полиномом нулевого порядка, который строится на заданном множестве точек. В результате площадь под кривой F(x) (геометрический смысл интеграла) заменяется при расчёте суммой площадей отдельных прямоугольников.

На рисунке показан интервал интегрирования  ав, разбитый на равные отрезки, служащие основаниями таких прямоугольников.

Площадь i-го прямоугольника:

S_i=F(x_i-1)(x_i-x_i-1);                          1 ≤ i ≤ n

Где n – число прямоугольников на интервале интегрирования.

При количестве прямоугольников имеем:

∫ F(x)dx ≈ ∑ ⁿ_i=1  S_i

 

При h = (b-a)/n (где h – шаг интегрирования), численное значение интеграла:

I = h ∑ⁿ_i=1 F(x_i-1)

Эта формула позволяет вычислить интеграл с погрешностью, зависящей от числа отрезков разбиения n.

Чтобы вычисление происходило  с заданной погрешностью, следует организовать итерационный процесс. Он должен начинаться с вычисления значения I.

Затем удваивают значение n и вычисляют новое численное значение интеграла.

Сравнивают разницу между двумя этими значениями интеграла с заданной погрешностью. Процесс продолжается до достижения заданной погрешности.

∫²₁ x*log₂(x)dx;

F(x) = x*log₂(x) = x*(log₂(x)/log₂(2)) = x*(ln(x)/ln(2))

fun – функция F(x)

niz – нижний предел интегрирования

verh – верхний предел  интегрирования

n – число прямоугольников на интервале интегрирования

е – погрешность вычисления

zn – текущее значение интеграла

zn2 – значение интеграла при числе прямоугольников вдвое меньшем

Program integral;

  CONST

      e=0.001;

  VAR

      i,n:integer;

      a,b,j1,j2,s,x,h:real;

   BEGIN

      a:=2;

      b:=3

      n:=2;

      j1:=0;

      REPEAT

         j2:=j1;

         h:=(b-a)/n;

         x:=a;

         s:=0;

         FOR i:=1 TO n DO

              Begin

                   s:=s+(x*(ln(x)/ln(2)));

                   x:=x+h;

              end;

         j1:=s*h;

         n:=n*2;

         UNTIL abs(j1-12)<e;

         Writeln(‘Интеграл = ’,j1:5:5);

       Readkey

END.

Интеграл = 0.918