Расчет статически определимых многопролётных балок и плоских рам: Методические указания к выполнению контрольной и расчётно-проектировочной работы по дисциплине "Строительная механика", страница 3

 м);

Рис. 4. Расчётная схема и эпюры Q, M балки АВ

 кН ; ;

а) ; ;                    б)  м;  кН.

Заметим, что эпюры Q и M для этой балки можно построить, не определяя реакции в защемлении. Реакции в защемлении, равные значениям поперечной силы и изгибающего момента в сечении А, направлены в соответствии с правилами знаков Q и M.

3) Эпюры Q и Mдля заданной балки получим, изображая эпюры Q и M отдельных её частей на общей базе (рис. 5,б).

4). Проверим эпюру Q, используя интегральное соотношение (1.4) между Q и q.

Участок АВ.

 кН; ;

 кН.

Участок ВС.

 кН; ;

 кН.

Рис. 5. Расчётная схема и эпюры Q и M заданной балки

Участок СD.

 кН;

 кН.

 кН.

Участок DE.

 кН;  кН;

 кН.

Участок EF.

; ;

.

Заметим, что, определяя  для каждого последующего участка, выполняем «скачёк» на значение и в направлении сил, приложенных на границах смежных участков.

5). Аналогично предыдущему, выполним проверку эпюры M по эпюре Q, используя интегральное соотношение (1.4) между М и Q.

Участок АВ.

 кН м;  кН м;

Участок ВС.

  кН м.

Участок CD.

 кН м;

=;

Участок DE.

;

 кН м;

кН м;

 кН м;

 кН м.

Участок ЕF.

кН·м;    ;       кН·м.

Нулевые значения изгибающих моментов в шарнирах В и D и значение изгибающего момента на правом конце балки, равное сосредоточенному внешнему моменту кН·м, соответствуют расчётной схеме.

Обратим внимание, что  вычислена здесь как площадь «перекрученной» трапеции по формуле площади обычной трапеции с той лишь разницей, что учтены знаки сторон. Эта площадь может быть представлена и как сумма площадей треугольников, т.е.

.

6) Строим лини влияния, используя статический и кинематический методы.

Для построения некоторых линий влияния, например, , воспользуемся статическим методом.

Аналитические выражения  получим при различных положениях единичной силы  на поэтажной схеме балки.

а) Пусть  находится в пределах основной балки  (рис. 6,а), т.е. . В этом случае вспомогательные балки  и  без «нагрузки», поэтому усилия в шарнирах .

Исследуемые усилия при этом будут:

;                    ;        ,

т.е. линии влияния  и  на участке  нулевые, а линия влияния  - прямая, которую построим по двум значениям:

а) ; ; б) м; .

Рис. 6. Построение линий влияния статическим методом

б) Поместим  на балку ВD(рис. 6,б), т.е. . При этом , т.к. вспомогательная балка DF без «нагрузки». Реакцию  и усилие в шарнире , необходимые для выражения , найдём из условия равновесия вспомогательной балки .

 ;

  .

Момент в защемлении  найдём из условия равновесия балки AB,

         .

Внутренние усилия  и  зависят от положения  относительно сечения I:

а)  слева от сечения I, т.е. м;

; ;

б)  справа от сечения I, т.е. ;

; ;

(или ).

Вычислим значения ,  и  при характерных положениях .

;          ;         ; ;

;       ;               ; ;

                                                    ; ;

;     ;     ; .

По этим значениям строим линии влияния ,  и  на участке BCD.

в)  находится на вспомогательной балке DEF (рис. 6, в), т.е. .

В этом случае из условия равновесия вспомогательной балки DEF найдём .

Зная , найдём реакцию  и усилие в шарнире  из условий равновесия вспомогательной балки BCD.

; ; ;

; ; .

Выражение  получим из условия равновесия балки AB.

; ; .

Внутренние усилия  и  выразим через .

; .

Вычислим значения линий влияния при характерных положениях .

; ; ; ;

; ; ; ;

 ; ; .

Построенные таким образом линии влияния ,  и  представлены на рис. 6,г,д,е.

Рассмотрим построение некоторых линий влияния кинематическим методом.

В [1] показано, что если в статически определимой системе удалить какую-либо связь, превратив тем самым неизменяемую систему в механизм с одной степенью свободы, и сообщать положительное единичное перемещение в направлении устраненной связи, то эпюра перемещений точек грузовой линии в направлении  (для балок – схема перемещений механизма) будет моделью (копией) линии влияния усилия, соответствующего устранённой связи.