Ознакомление с принципом работы метода конечных элементов. Расчет и анализ чистого изгиба балки в линейной геометрической постановке

Предположим, что температура стержня одинакова во всех точках, атмосферным давлением можем пренебречь и объемные силы отсутствуют.  Существует только одно внешние воздействие, а именно изгибающий момент М, которые будут действовать, в одной из главных плоскостей двумя равными и противоположными моментами М. Определим начало координат в центре тяжести поперечного сечения, а плоскость xz — в главной плоскости изгиба.

В теории упругости уже известно аналитическое решение для балки, воспользуемся основными формулами и соотношениями для решения.

Закрепим балку жестко на левом торце (исключим перемещения вдоль осей Z и X), и исключим изгиб в плоскости YZ, к правому торцу приложим изгибаю момент.

Рассмотрим искомое решение для напряжений в виде:

,    

Где R – радиус кривизны стержня после изгиба.

Это решение удовлетворяет граничным условиям.

Оно также удовлетворяет и условиям равновесия:

       (i,j=1,2,3)  

Таким образом, мы имеет распределение напряжений в виде , остальные σ_ij=0 .   

Связи напряжений и деформаций, вытекающая из закона Гука, имеет вид:

     

       

И наконец, рассмотрев формулу Коши:   можем записать следующие выкладки:

                                                         

Изгибающий момент М определяется формулой

в которой  - момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси, параллельной оси у,R – радиус кривизны стержня после изгиба.

Предсталю решение данной задачи в MSC.Patran, Nastran. Стержень   имеет   размеры   1x1x10   мм,   модуль упругости Е = 7000         кГ/мм²,  коэффициент Пуассона v = 0.3, радиус кривизны стержня после изгиба R = 10 мм.

2. Основные параметры расчета и создания модели.

В последние годы метод конечных элементов стал одним из наибо­лее популярных численных методов решения краевых задач механики сплошных сред. Наличие нерегулярных границ в большинстве практиче­ских задач не позволяет построить аналитическое решение дифференци­альных уравнений, и численные методы стали единственно возможным средством получения достаточно точных и подробных результатов. Под­ход метода конечных элементов состоит в разбиении тела на элементы ко­нечных размеров; чем больше эти элементы, тем лучше с точки зрения ми­нимизации числа получающихся уравнений. Поведение каждого элемента приближенно воспроизводит поведение малой области тела, которую он представляет, между элементами налагается условие непрерывности. Бла­годаря своей эффективности и сравнительной легкости, с которой могут быть учтены реальные граничные условия, метод достиг высокого уровня развития и диапазона применимости.

Будем решать нашу задачу в предположении о малости деформаций, поворотов и перемещений. То есть рассмотрим задачу в геометрически линейной постановке.

Приведем основные соотношения МКЭ в виде матриц:

- функция перемещения:

, где N – матрица функции,  - вектор узловых перемещений.

- функция деформации:

- функция напряжения:

Где ε₀, σ₀, - начальные деформации и напряжения.

D – матрица упругости.

 - матрица упругости :

- матрица жесткости:

Если толщина t постоянная, то в следствии постоянности матриц можем произвести интегрирование: .

Следует отметить, что постепенно задача сводиться к решению системы линейных алгебраических уравнений с постоянной матрицей жесткостью.

МКЭ будет реализован с помощью пакета MSC. Nastran. Непосредственную подготовку (построение модели, разбиение, задание свойств, граничных условий и нагрузок) будем производить в пакете MSC. Patran.

Чтоб было возможным произвести сравнительный анализ, создаю балки с максимально одинаковыми параметрами. Длина балки 10 мм, размер прямоугольного сечения – 1х1 мм, радиус круглого поперечного сечения