Исследование движения неконсервативной системы (Образец выполнения курсовой работы)

положение каждого из которых по отдельности при плоском движении характеризуется тремя параметрами, наложено четыре связи, одна из которых - дифференциальная интегрируемая. Следовательно, рассматриваемая механическая система является голономной с двумя степенями свободы:

s= 3N – k – g= 3ּ2 – 3 – l = 2,

где     k-  число геометрических связей; g-число дифференциальных связей.

В качестве обобщенных координат выберем горизонтальное смещение и центра масс диска и угол φповорота стержня – рисунок 3:

Координаты любой точки механической системы, могут быть выражены через обобщённые. Покажем, как на основании уравнений связи (2), (4), (5), координаты из набора (1) выражаются через обобщенные:

,   ,   ,

,   .                                                                                                                        (6)

1.2  Дифференциальные уравнения малых колебаний

Дифференциальные уравнения малых колебаний получаем, используя уравнения Лагранжа второго рода в следующей форме:

,   i = 1, 2.

Здесь Т - кинетическая энергия, П - потенциальная энергия, R - диссипативная функция Рэлея.

Для вычисления Т, П и Rпридаем обобщенным координатам и обобщенным скоростям малые положительные значения (положительные значения и и φ показаны на рис. 5.3).

При вычислении кинетической энергии механической системы учитываем, что оба инерционных элемента совершают плоское движение:

.                                                                                                                        (7)

Потенциальная энергия механической системы складывается из потенциальной энергии деформации упругого элемента и потенциальной энергии положения центра тяжести физического маятника:

.

Примем допущение о малости отклонений механической системы от положения равновесия. В этом случае соотношения (6), связывающие физические ко­ординаты с обобщёнными координатами, могут быть упрощены:

.                                                                                                                        (8)

После подстановки выражений (8) в кинетическую и потенциальную энергии и учитывая заданное соотношение mg= Cr, получаем:

                                                                                                                         (9)

Диссипативная функция Рэлея, по определению равная половине мощности рассеяния энергии в демпферах, содержит два слагаемых, соответствующих демпферам k₁и k₂:

.                                                                                                                      (10)

Подставляя Т, П, Rв уравнения Лагранжа второго рода, получаем:

                                                                                                                      (11)

или в матричной форме

.

Здесь           {q} =  - вектор-столбец обобщенных координат,

 - матрица инерции,

 - матрица демпфирования,

 - квазиупругая матрица.

2 Собственные частоты и собственные формы механической системы

Строго говоря, собственные частоты диссипативной системы, описываемой уравнениями (11), это комплексные числа, определяющие как частоту колебаний системы, так и скорость их затухания. Точно так же формы колебаний представляются комплексными числами, показывающими, что эти формы характеризуются не только соотношением амплитуд масс системы, но и сдвигом фаз этих амплитуд друг относительно друга. Однако в подавляющем большинстве случаев, представляющих практический интерес, влияние трения как на собственные частоты колебаний, так и на их формы оказывается достаточно малым. Поэтому, под собственными частотами и формами диссипативной системы (11) понимают, обычно, собственные частоты и формы соответствующей консервативной системы, т.е. системы (12), получаемой из (11) отбрасыванием диссипативных членов:

                                                                                                                      (12)

Решение системы (12) ищем в виде

u(t) = ucos(pt + α),  (φ(t) – φcos(pt + α).                                                                                       (13)

Подставляя (13) в (12), получаем систему алгебраических уравнений