Вопросы к теоретическому зачету по дисциплине "Математический аппарат радиотехники"

Вопросы к теоретическому зачету по дисциплине МАРТ. 3 курс ФРТ.

1. Дайте определение понятия множества. Приведите примеры множеств.
2. Назовите основные операции над множествами и укажите, в чем они заключаются.
3. Какие множества называются эквивалентными? Каким условиям удовлетворяет отношение эквивалентности?

4.  Множества А и В – конечны, А ~ В. n_A – мощность множества А, n_В – мощность множества В. Какое из приведенных  соотношений правильно: а) n_A > n_В; б) n_A < n_В; в) n_A = n_В + 1; г) n_A = n_В; д) n_В = n_A + 1?

5. Определите и проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера – Венна операции объединения и пересечения множеств. Являются ли эти операции коммутативными и ассоциативными? Запишите соответствующие соотношения.

Продолжите равенство: А Ç (В È С) = …

6. Изобразите на диаграмме Эйлера–Венна множество (А + С)(В + С) и убедитесь в том, что оно равно АВ + С.

7.  В чем состоит операция декартового произведения множеств? Что называют степенью множества? Пусть R – множество вещественных чисел. Какие множества будут получены в результате операций R ´ R  и R ´ R ´ R ?

8. Что такое мощность конечных множеств? Для множеств A = {–2, 0, 1, 4, 9} и B = {–2, 4, 3, 1} найдите А È В, А Ç В, А \ В, В \ А и А D В. Определите мощность получаемых в результате данных операций множеств.

9.  Множества С и D имеют мощности, равные  и  соответственно. Известно, что С и D не являются эквивалентными. Также известно, что в множестве C есть подмножество C^*, эквивалентное множеству D. Какое из следующих нижеприведенных выражений правильно: а)  > ; б)  ≥ ; в)  ≤ ; г)  < ; д)  = ?

10.  Установите, какие из приведенных ниже выражений правильны: а)  (А È В) \ С = А È (В \ С);  б)  АВС = АВ (С È В);

11.  Установите, какие из приведенных ниже выражений правильны: а)  А È В = (А \ АВ) È В;  б) А È В  = (А D В)D(А Ç В);

в)  (АВ È ВС È СА) Ì (А È В È С).

12. Сформулируйте и проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера – Венна определения разности множеств А и В, симметрической разности множеств А и В. Продолжите равенство: А Ç (В \ С) = …

13. Что называют единичным (нейтральным) элементом по отношению к бинарной операции? Что называют обратным элементом по отношению к бинарной операции? Что представляют собой нейтральный и обратный элементы по отношению к операциям сложения и умножения на множестве вещественных чисел?
14. Дайте определения следующих алгебраических структур: полугруппа, моноид, группа, абелева группа. Какую алгебраическую структуру образует множество целых чисел Z по отношению к операции сложения? Ответ аргументируйте.
15. Дайте определения следующих алгебраических структур: полугруппа, моноид, группа, абелева группа. Какую алгебраическую структуру образует множество вещественных чисел  R по отношению к операции умножения? Ответ аргументируйте.
16. Дайте определения следующих алгебраических структур: полугруппа, моноид, группа, абелева группа. Какую алгебраическую структуру образует множество натуральных чисел  N по отношению к операции сложения? Ответ аргументируйте.
17. Какая алгебраическая структура называется кольцом? Приведите пример кольца.
18. Какая алгебраическая структура называется полем? Для поля Галуа GF(2) задайте с помощью таблиц бинарные операции сложения и умножения.

19.  Дайте определение метрического пространства. Перечислите аксиомы, которым должна удовлетворять метрика.

20.  Дайте определение метрического пространства. Приведите не менее двух примеров метрических пространств, указав используемые в них метрики.

21.  Какие метрики обычно используются в пространствах R_n, C[a, b], L₂[a, b]? Что это за пространства?

22.  Что называется нормой элемента произвольного векторного пространства? Каким условиям должен удовлетворять способ введения нормы?