Общая модель экономического взаимодействия подсистем

16.3. Общая модель экономического взаимодействия подсистем

Модель и ее основные свойства. Пусть в народном хозяйстве выделяются т подсистем нижнего уровня (k = 1, ..., m) и одна подсистема верхнего уровня с номером т + 1 – центральная подсистема. Будем предполагать, что подсистемы могут обмениваться результатами своей деятельности. Интенсивность такого обмена для подсистемы kбудем характеризовать вектором  – сальдо обмена. Тогда каждый план  подсистемы k естественно представлять в виде

                                                     (16.3)

где вектор  описывает интенсивность различных видов внутренней деятельности подсистемы;  – множество допустимых планов k-й подсистемы. Цели развития каждой подсистемы выражаются в виде функции , зависящей лишь от выбранных вариантов интенсивности внутренней деятельности – векторов . Будем предполагать также, что условие допустимости общего решения всей системы можно представлять как условие сбалансированности обмена результатами деятельности

                                                                                                                (16.4)

С рассматриваемой системой может быть сопоставлена кооперативная игра с характеристической функцией следующего типа: пусть X– композиция возможных планов подсистем , таких, что выполняется условие  Тогда  в том и только в том случае, когда  (здесь, как и выше,  –  произвольная коалиция подсистем, а  – множество значений целевых функций участников).

Следующее утверждение дает условия непустоты ядра для рассматриваемого класса моделей взаимодействия[1].

Утверждение 1. Предположим, что множества непустые, выпуклые, замкнутые, ограниченные, а функции  вогнутые, непрерывные (k= 1, ..., т). Пусть также каждое множество  содержит вектор (x_k, 0)[2].  Тогда ядро рассматриваемой игры непусто.

Перейдем теперь к описанию некооперативной игры, соответствующей рассматриваемой системе, и условий существования равновесных решений. Будем предполагать, что управляющим параметром центральной подсистемы является вектор цен р. В качестве множества возможных векторов цен Qрассмотрим совокупность всех неотрицательных векторов соответствующей размерности, все компоненты которых в сумме равны 1. Будем считать, что множество  состоит из подмножеств всех возможных векторов, удовлетворяющих (при данном р) условию финансовых балансов внешних связей следующего типа:

                                                                                                   (16.5)

Для спецификации некооперативной игры (т + 1) лиц с зависимыми множествами стратегий остается определить задачу подсистемы верхнего уровня – (т + 1)-го участника. Предположим, что он решает следующую задачу: для каждого набора  планов подсистем найти вектор цен , минимизирующий в стоимостном выражении общее сальдо обмена, т.е.

;

Исследуем теперь связь между равновесными состояниями данной модели взаимодействия и решениями по Нэшу соответствующей игры (т + 1) лиц.

Утверждение 2. Пусть – состояние равновесия. Тогда пара является точкой Нэша соответствующей игры.

Действительно, векторы  являются решениями задачи k-й подсистемы (k = 1, ..., m) при векторе цен р^*. Далее, вектор р^* является решением задачи подсистемы m + 1, так как . Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, однако имеет место.

Утверждение 3. Пусть (р^*, X^*) – точка Нэша. Тогда определяемые ею решения подсистем нижнего уровня непротиворечивы, т.е. , где  – планы по обмену продукцией, соответствующие равновесным решениям, составляющим вектор X^*.

Утверждение 4. Пусть (р^*, X^*) – точка Нэша и выполнены следующие предположения:

1)  для данного р^*и каждого k (k = 1, ..., т) ограничение (16.3) выполняется как равенство для соответствующих вектору X^*планов по обмену продукцией , k = 1,...,т, т.е. ;

2)  продукты желательны в том смысле, что, если цена продукта равна нулю, сальдо обмена по этому продукту, вычисленное в соответствии с любыми оптимальными при данном векторе цен решениями подсистем, является отрицательным, т.е. если  р_i= 0, то , где , обозначает компоненту с номером iвектора . Тогда (р^*, X^*) – состояние равновесия.

Данное утверждение позволяет установить теорему существования состояния (траектории) равновесия в рассматриваемой системе на основе следующего утверждения о существовании решения по Нэшу соответствующей ей игры (т + 1) лиц.