Оптимизационные межотраслевые модели с производственными способами

продукции сверх минимально необходимых объемов ), превращающие неравенства в равенства.

В каждом i-м уравнении

положительными являются только коэффициенты при переменных . Но поскольку все , то и все

, ,

т.е. в оптимальном плане должны производиться все виды продуктов.

Максимальное число положительных переменных в оптимальном плане равно n (числу уравнений). Следовательно, в каждой сумме переменных  положительной может быть только одна переменная. Иначе говоря, в оптимальном плане каждый продукт производится только одним способом.

Следствие. Из теоремы следует, что поскольку число возможных положительных переменных исчерпывается переменными способов про­изводства, то все (в оптимальном плане равны нулю. Иными словами, оптимальный план обращает исходные неравенства в равенства.

Пусть X* — оптимальный план модели (каждая его компонента есть интенсивность применения какого-то "лучшего" способа произ­водства); А* — матрица коэффициентов материальных затрат, состав­ленная из способов, которые вошли в оптимальный план. Матрица А* аналогична матрице А межотраслевого баланса с той лишь разницей, что вместо средневзвешенных коэффициентов из разных способов в ней представлены коэффициенты только "лучших" способов. Матрицы А* и (Е - А*) обладают теми же экономико-математическими свой­ствами, что и матрицы межотраслевого баланса. Отметим, в частности, существование матрицы (Е - А*)^-1 0. Элементы матрицы (Е -A*)^-1 являются коэффициентами полных потребностей в выпуске продукции для получения единицы конечной продукции в оптимальном плане. Оптимальный план удовлетворяет следующей системе уравнений:

или .

Теорема 2. Базис оптимального плана, а,следовательно, и выбор "лучших" способов остаются постоянными при любых изменениях положительного вектора Y⁰.

Доказательство. Для того чтобы базис оптимального плана оставался неизменным при переменном векторе Y⁰, достаточно в соответствии с (8.9), чтобы выполнялось условие (Е - A*)^-lY⁰  0. Поскольку матрица (Е - А*)^-1  0, условие (Е - A *)^-lY⁰0 выполняется всегда при любом Y⁰ 0 и тем более при Y⁰ > 0.

Пусть для некоторого Y⁰ > 0 получено решение X*. Базис полученного решения (Е - А*) остается неизменным и тогда, когда вектор будет изменяться любым образом в положительной области (0 < Y⁰ < + ¥). Если базис оптимального плана — неразложимая матрица, то теорема распространяется на случай Y⁰ 0. Это означает, что, вычислив матрицу (Е - А *)^-1 для одного варианта конечной продукции, можно неоднократно использовать ее для расчета производственной программы при других вариантах конечной продукции.

Из задачи, двойственной (8.29), следует, что для способов, вошедших в оптимальный план (), выполняются условия

Поэтому вектор оптимальных оценок продукции V* = () определяется решением системы уравнений V* = V*A * + t* или V* = t (E — А*)^-1.

Видим, что оптимальные оценки продукции в рассматриваемой модели равны коэффициентам полных трудовых затрат, исчисленным по лучшим производственным способам для каждого вида продукции.

Следствие. Оптимальные оценки vизменяются при любых изменениях положительного вектора Y⁰. Поскольку в соответствии с теоремой 2 базис оптимального плана остается постоянным при любых изменениях вектора Y⁰в положительной области, то, следовательно, не изменяются и оптимальные оценки (задача исчисления