Модели динамики общественного продукта и национального дохода, страница 4

Модели с лагами капитальных вложений. Во всех анализировавшихся выше моделях допускалось отсутствие лага между производственным накоплением и приростом национального дохода. Это — серьезное упрощение реальности. Как отмечалось, инвестиционные лаги являются важными характеристиками процесса воспроизводства.

Модель с сосредоточенным лагом. Обозначим величину сосредоточенного лага . Тогда , а общая модель воспроизводства национального дохода приобретает вид

                    (10.12)

При постоянной норме производственного накопления а₀ получаем следующее обобщение модели

                  (10.13)

Модель (10.13) представляет собой дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом (или дифференциально-разностное уравнение). Исследование этого уравнения (см. ДМНХ, с. 56) дает формулу для определения темпа прироста национального дохода , равного темпу прироста потребления:

                (10.14)

Из анализа (10.14) следует, что монотонно убывает при увеличении . Уменьшение темпа национального дохода при постоянном, а тем более увеличивающемся лаге объясняется тем, что все возрастающая величина накопления "замораживается" и не может использоваться для расширения производства. Увеличение доли накопления хотя и поднимает темп национального дохода, но уже медленнее пропорционального увеличения. В табл. 10.1 приводятся значения при В = 3,5 и трех значениях а₀.

Анализ модели (10.12) с заданной траекторией потребления с(t) = с(0)e^rtвыявляет свойства, аналогичные свойствам модели без лага, но при более низких темпах национального дохода (см. ДМНХ, с. 57).

Модель с распределенным лагом. Производственное накопление с распределенным лагом определяется по формуле

,

где B(t, ) — затраты капитальных вложений в момент t, необходимые для получения единицы прироста национального дохода в момент . При этом затраты капитальных вложений "распределяются" внутри периода протяженностью лет. Общая капиталоемкость в момент tсоставляет

Континуальный аналог формулы и(t) имеет вид

.

Будем предполагать, что  - убывающая функция от . Этому предположению соответствует, в частности, функция

,

в которой параметр характеризует степень распределенности лага (чем больше , тем более растянут лаг). Например, при s = 2 имеем

,

при s = 4

При постоянной норме накопления и(t) = а_оу(t), и поэтому

Преобразования этого уравнения приводят в конечном счете к решению:

(10.15)

Таким образом, учет распределенного лага при развитии с постоянной нормой накопления приводит к уменьшению постоянного темпа прироста национального дохода от  до .