Временной ряд. Оценка логистической функции. Стационарные модели, страница 3

Трудности, возникающие при попытке оценить логистическую функцию, хорошо известны. Нужно применять только численные методы, ибо нормальные уравнения, получаемые от применения МНК или максимума вероятностей, не бывают линейными относительно неизвестных параметров.

Гарольд Готелинг, однако, указал на очень интересный метод для оценки этих параметров. Он исходил из дифференциального уравнения логистической функции.

Дифференцируем  в (1). Опуская для краткости подписной значок, имеем первую производную:

Т.к. согласно (1),

,              ,

то подставляя эти выражения в формулу первой производной, приходим к дифференциальному уравнению:

                                                                                                      (3)

Теперь мы можем применить непосредственно к вышеприведенному дифференциальному уравнению способ наименьших квадратов. Мы сразу же получаем оценочное значение для параметров a и , следовательно, и для первоначальных постоянных a и k.

Недостающий параметр b может быть оценен методом Родса:

                                                                     (4),

если у нас имеется N наблюдений, происходящих на равных отрезках времени (например ежегодно). В этой функции ln будет натуральным логарифмом (с основанием e).

Но при практическом применении идеи Готелинга встречается следующая трудность: нам нужна норма роста , а во всех экономических временных рядах у нас нет непрерывных наблюдений, кроме, например, ежегодных данных.

Логистическая кривая описывается функцией нелинейной по параметрам, подлежащим оценке.

Среднее имеет тенденцию возрастать с убывающей скоростью, а согласно разумным приближением среднего представляется логистическая кривая.

Есть, однако, простой способ преодолеть эту трудность. На один момент посмотрим на логистическую функцию как на закон роста населения. Тогда ее обратное значение пропорционально плотности населения. Отсюда мы имеем простое преобразование:

                                                                                                           (5)

Функция имеет линейное разностное уравнение первой степени:

                                                                                                    (6)

Действительно,

Теперь можно применить к этому разностному уравнению (6) непосредственно метод наименьших квадратов. Мы получим оценочные значения для параметров , из них можем оценить постоянные а и k логистической функции. Постоянную в можно вычислить затем с помощью формулы Родса (4).

Мы можем применить этот метод для исчисления тенденций роста шведского населения. Имеются следующие данные:

Вычисляем обратные значения, т.е. , пропорциональные плотности населения.

Методом наименьших квадратов получаем разностное уравнение:

                                                                          (7)

Отсюда получаем оценки:

 и поэтому а=0,14

 и отсюда k=10,328 806

Это верхняя асимптота тенденции шведского народонаселения.

Теперь применим формулу Родса и оценим параметр в: в=2,1176.

Поэтому полная формула для найденной тенденции шведского населения выглядит так:    

                                                                                                      (8)