Решение задач оптимального управления с использованием принципа максимума Понтрягина

Дано:

Критерий  

                                                  ,                                                     (1)

Дифференциальное уравнение

                                                 ,                                                    (2)

Ограничения

                                                  .                                                  (3)

Задание: используя принцип максимума Понтрягина необходимо за конечное время перевести объект из начального состояния с координатами

            ; ; ;                 (4)

в конечное состояние таким образом, чтобы затраченная энергия управляющим устройством на этот перевод была минимальной, т.е. необходимо минимизировать функционал

                                            .                                          (5)

Ход работы:

Преобразуем дифференциальное уравнение (2) и выведем передаточную функцию линейного объекта первого порядка

,

                                               ,                                          (6)

,

                                            .                                        (7)

Обозначим

,

,

.

С учетом введенных обозначений составим систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка

                                                                                             (8)

Полученную систему уравнений дополняем еще одним уравнением

.

Составляем функцию Гамильтона

                                             ,                                       (9)

где

,

где - неизвестные координаты вспомогательной функции-вектора . Они определяются следующим образом

                                                                                                (10)

                                                                                  (11)

находим путем интегрирования:

;

;

.

Найденные  подставляем в функцию Гамильтона

Найдем оптимальное управление из решения системы уравнений

                                                ,                                       (12)

Выразим

                                                                                  (13)

Постоянную интегрирования  находят из начальных условий, а К – заданная величина.

Найдем оптимальную траекторию путем интегрирования уравнения (13).

Вывод: в данной лабораторной работе я, используя принцип максимума Понтрягина, нашла оптимальное управление.

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Сибирский Федеральный Университет”.

­­­­­­______________________________________

                                                              ^{институт}

_____________________________________

  ^{кафедра}

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №2

Решение задач оптимального управления с использованием принципа максимума Понтрягина

Преподаватель                           _______________                  _______________

                                                           ^{подпись, дата                                                 инициалы, фамилия}

Студент_______________        _______________                   _______________

                  ^{код (номер) группы                               подпись, дата                                                 инициалы, фамилия}

Красноярск  2010