Бесконечно большие функции. Теоремы Лопиталя

Билет 26

Вопрос 1.

Бесконечно большие функции.

Опр.4.4.8. Функцияf(x) называется бесконечно большой при х®а, если .

Обозначение: .

Опр.4.4.9. Функцияf(x) называется положительной бесконечно большой при х®а, если .

Опр.4.4.9. Функцияf(x) называется отрицательной бесконечно большой при х®а, если .

А)связь между б.б.ф и б.м.ф

Теор. 4.4.11.1 о связи ББ и БМ функций. Пусть функции F(x) и j(x) связаны соотношением F(x)=. F(x) - ББ тогда и только тогда, когда j(x) -БМ.

            Док-во. Необходимость. Пусть F(x) - ББ, докажем, что  - БМ. Возьмём "e>0. По определению ББ, для М=1/e $d: 0<| x-a |<dÞ| F(x) |> М. Тогда , т.е. j(x) удовлетворяет определению БМ.

            Достаточность  доказывается аналогично необходимости.

Итак, связь между ББ и БМ функциями достаточно простая. Поэтому кратко перечислим факты, относящиеся к сравнению ББ функций и аналогичные определениям и теоремам для БМ.

Вопрос 2.

Теоремы Лопиталя.

         Теор.7.5 (неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х):

1. непрерывны на отрезке  [a, b];

2., ;

3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a,b), причём g'(х) ¹ 0;

4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует, и .

            Док-во. Так как функции f (х) и g (х) непрерывны в точке а, то , , и . Для функций f (х) и g (х) на отрезке [a, х] выполняются условия теоремы Коши, поэтому существует точка сÎ(a, х), такая что . Устремим , при этом и . В пределе получим, что и требовалось доказать.