Расчет оптимального управления и оптимальной траектории, используя принцип максимума Понтрягина

            Цель работы: необходимо за конечное время tk перевести объект из начального состояние

Хвых0=Хн1,Хвых'0=Хн2;

в конечное

Хвыхtk=Хk1,Хвых'tk=Хk2;

таким образом, чтобы энергия затраченная управляющим устройством была минимальная, то есть

Q=K0tkUtdt→min.

            Исходные данные:

Критерий

G=K1∙U3+K2∙U2+K3∙U,

дифференциальное уравнение

dxdt=-KU,

ограничения

0≤U≤Umax.

            Из данного дифференциального уравнения составим систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

            Введем обозначения

Хвыхt=y(t)=y1(t),

y1'=dXвых(t)dt=y2(t),

где   Хвх(t) = U(t).

y1't=-K∙Ut

в полученную систему вводим

y0't=Gy,u,t,

где G – подынтегральное выражение целевого функционала

Q=0TGy,u,tdt→extr.

            Получили систему

y0't=K1∙U3+K2∙U2+K3∙Uy1't=-K∙U(t)

            Составим функцию Гамильтона

H=i=0nψi(t)∙fi(y,u,t),

H=ψ0t∙(K1∙U3+K2∙U2+K3∙U)+ψ1∙(-K∙U).

            Находим ψ0, ψ1, ψ2 которые должны быть непрерывными и ненулевыми

dψ0dt=-dHdy0=0,dψ1dt=-dHdy1=-ψ1t,dψ0dt=0dψ1dt=-ψ1t

            Найдем  ψ0, ψ1

ψ0t=C0;

ψ1t==-C1t+C2;

C0, C1, C2 – это постоянные при наличие начальных условиях

            Найденные ψ0, ψ1, ψ2 подставим  в функцию Гамильтона

H=C0∙(K1∙U3+K2∙U2+K3∙U-C2-C1t∙K∙U.

            Находим оптимальное управление из решения системы уравнений

∂H∂Uj=0,

где  j = 1, 2, …, r.

∂H∂U=3∙C0∙K1∙U2+2∙C0∙K2∙U+C0∙K3-C2∙K+C1t∙K=0

Выразим U(t)

     3∙C0∙K1∙U2+2∙C0∙K2∙U+C0∙K3+C2∙K-C1t∙K=0    

D=2∙C0∙K22-4∙C0∙K3+C2∙K-C1t∙K 

D=4∙C02∙K22-12∙C02∙K1∙K3-12∙C0∙K1∙C2∙K+  12∙C0∙K1∙C1∙K  

U12=-2C0∙K2∓4∙C02∙K22-12∙C02∙K1∙K3-12∙C0∙K1∙C2∙K+  12∙C0∙K1∙C1∙K6∙C0K1

         Найдем оптимальную траекторию путем интегрирования выражения

Вывод:  используя принцип максимума Понтрягина, нашла оптимальное управление и оптимальную траекторию.