Атом водорода и водородоподобные системы, страница 2

Состояния с заданным моментом импульса вырождены по квантовому числу m. Физический смысл этого квантового числа раскрывается при решении задачи о собственных функциях и собственных значениях оператора проекции момента импульса . Уравнение Ψ = Ψ  или   = Ψ  имеет частные решения вида:

 Ψ =  . Поскольку полный обход вокруг оси ОZ при изменении угла φ на 2π приводит нас в исходную точку пространства ( r и θ постоянны ), то из условия однозначности решения следует равенство:  . Оно удовлетворяется, если положить  . После нормировки и подстановки  собственные функции оператора  принимают вид: .

  Часто используют название: - азимутальное или орбитальное квантовое число, причём  т.е. принимает   значение.

В целях наглядности  результаты квантования момента импульса и его проекции можно представить  графически. Из точки  построим полуокружность, радиус которой равен модулю момента импульса. На рис. 7.1. =2 . Радиус окружности равен . По аналогии с классикой принято сопоставлять состоянием с одним и разными m различные определённые ориентации вектора момента импульса, хотя две другие проекции и не имеют определённого значения. Очень важное различие квантового и классического моментов импульса заключаются в том что отношение  (косинус угла наклона) в квантовом случае принимает дискретный ряд значений. Этот факт получил название пространственного квантования.

7.2. Движение частицы в центрально-симметричном

поле

      Центрально-симметричным называется силовое поле с потенциальной энергией, зависящей только от расстояния до некоторого центра. Центр удобно взять в качестве начала координат, тогда U = U(r).

Сила, действующая на частицу в таком поле, направлена по полярному радиусу, проведенному в данную точку. Поэтому при движении классической частицы сохраняется полная механическая энергия и момент импульса. Следует ожидать этого и в квантовой механике.

Уравнение Шредингера запишем в сферических координатах:

где

   (7.4)

.       

Если сравнить формулы (7.1), (7.2), (7.3)  то видно, что операторы ,   и   коммутируют друг с другом. Таким образом, существуют стационарные состояния, в которых одновременно задана энергия, момент импульса и его проекция на некоторую ось, принятую за ось ОZ.

Уравнения (7.4) допускает разделение переменных. Волновую функцию представим в виде произведения радиального R(r) и углового  множителей: 

 = R(r) ,