Расчет установившейся температуры транзистора мощностью 250 мВт. Расчет равновесной температуры изолированной черной прямоугольной поверхности

 Условие задачи 1.35(а)

Небольшой транзистор выделяет мощность 250 мВт. Его нужно охлаждать с помощью алюминиевого радиатора,  имеющего общую площадь поверхности 10см². Температура воздуха,  окружающего радиатор 25°C, коэффициент конвективной теплоотдачи на поверхности ребер радиатора 12Вт/(м²× град). Поскольку ребра радиатора из алюминия,  их термическое сопротивление мало и можно считать, что они изотермичны по всей их поверхности. Найти установившуюся температуру транзистора. Контактное термическое сопротивление между корпусом транзистора и радиатором 60 град/Вт.

Схема задачи

В основе расчетных соотношений, которые будут удовлетворять условиям задачи, лежит математическая модель стационарной теплопроводности при граничных условиях III и I родов. Считаем тело однородным, изотропным; физические параметры постоянны; внутренние источники теплоты в теле отсутствуют.

Рассматриваем распространение тепла в плоской ребристой стенке (радиатор). Сам радиатор находится в воздухе с постоянной температурой Тв.

Коэффициент теплоотдачи a от поверхности радиатора к воздуху будем считать постоянным по всей поверхности. Также будем полагать, что теплопроводность алюминия,  из которого сделан радиатор,  достаточно велика (l®¥ ). Поперечное сечение очень мало по сравнению с длиной ребер - это дает основание пренебречь изменением температуры в поперечном сечении и считать,  что она изменяется только вдоль оси стержня. Отсчет температуры будем вести от Тв=const.

      Избыточная температура стержня:

           V = Тр -Тв ,  (1)   [1,стр. 49]

где  Тв - температура воздуха, °С;

        Тр - текущая температура радиатора, °С.

       При граничных условиях III рода тепловой поток с поверхности радиатора:

             Q =  a VFE  ,  (2)   [1, стр. 53]

где  a  – коэффициент конвективной теплоотдачи, Вт/(м²× град);

        F - общая площадь поверхности радиатора, м ² ;

        Е - эффективность ребра.

        Е = 1 при l®¥

       Из  (2)  имеем:

              Q = a F(Тр-Тв)

              Тр = (Q/ a F)+Тв ,  (3)

      По условию задачи необходимо найти рабочую температуру транзистора. Для этого используем формулу для передачи теплоты через плоскую стенку при граничных  условиях I рода, для которой тепловой поток выражается следующим образом:

                Q = (Ттр-Тр)/R , (4) [1 стр.27]

где Ттр – температура транзистора, °С ;

       R – контактное  термическое сопротивление между корпусом транзистора и

              радиатором, град/Вт;

       Из  (4) имеем:

                 Ттр = Q×R + Ттр , (5)

Исходные данные

Q = 250 мВт = 250×10^-3Вт ,

a = 12 Вт/(м²×град) ,

Тв = 25°С ,

l_Al  = 202 Вт/(м×град) ,  [2, стр.257]

R = 60 град/Вт .

Ттр - ?

Решение

Подставляем в (3):

     Тр = 250×10^-3/12×10×10^-4 + 25 = 45,83 °С

Подставляем в (5):

      Ттр = 250 ×10^-3×60 + 45,83 = 60,83 °С

Ответ:  Ттр = 60,83 °С

Условие задачи 4.35

Изолированная черная прямоугольная поверхность ориентирована перпендикулярно солнечным лучам. Космический корабль находится на расстоянии 1.5×10⁸км от Солнца ; диаметр Солнце 1.39 ×10⁶км. Принимаем, что Солнце – черное тело при температуре 5550 К, энергия излучения, падающая от других частей космического корабля и от планет, пренебрежительно мала. Окружающее пространство имеет эквивалентную радиационную температуру 0 К. Рассчитать равновесную температуру черной поверхности.

Схема задачи

                                e₁ = 1

1                                 Т₁                              

                       w

                                

                                    Т_рад = 0 К                     

  2                    - r

 

                                              e₂ = 1

                                               Т₂

 

В основе расчетных соотношений, которые будут удовлетворять условиям задачи, лежит математическая модель равновесного излучения между двумя черными телами, произвольно расположенными в пространстве, а также свойство взаимности лучистых потоков.

Рассмотрим два черных тела (корабль и Солнце), находящихся в пространстве с эквивалентной радиационной температурой Трад. Допустим, что тела имеют изотермические поверхности с температурами Т₁ и Т₂. Самооблучение их отсутствует (j_1,1 = j_2,2 = 0). Теплообмен этих тел с другими телами также отсутствует. Тела являются однородными, изотропными: яркость излучения не зависит от направления. Так как тела черные, то e₁ = e₂ = 1).

На каждом из рассматриваемых тел выделим элементарные площадки  dF₁ и dF₂, бесконечно малые по сравнению с расстоянием r между их центрами.

Из условия равновесного излучения плотность потока результирующего излучения Ерез = 0.

Ерез = Есоб₀₁ - Епад₀₁ ,  [1, стр. 397]

отсюда

Епад₁ = Есоб₀₁ ,  (1)

где   Епад₁ – плотность потока падающего излучения на тело 1, Вт/м²;

        Есоб₀₁ – плотность потока собственного излучения черного тела 1, Вт/м²;

По закону Стефана – Больцмана: