Элементарная теория гироскопа. Неинерциальные системы отсчета. Закон Бэра

Лекция 8.

Элементарная теория гироскопа.

Гироскопом называется быстро вращающееся твердое тело, ось которого может менять направление в пространстве. Симметричный гироскоп – обладающий симметрией относительно некоторой оси – геометрической оси. Обычно одна из точек оси фигуры гироскопа закреплена. Эту закрепленную точку называют точкой опоры гироскопа. В общем смысле точкой опоры гироскопа называют такую т.  относительно которой рассматривается вращение гироскопа. В наиболее общем случае движение гироскопа складывается из вращения относительно оси, проходящей через мгновенную ось и движения точки опоры. Простой иллюстрацией движения гироскопа является движение быстро раскрученного детского волчка

Будем в дальнейшем рассматривать уравновешенный гироскоп, состоящий из двух маховиков для простоты одинаковых, жестко насаженных на общую ось. Один из маховиков выполняет роль противовеса. Пусть ось гироскопа подвешена в некоторой точке . Гироскоп способен без трения вращаться как относительно оси симметрии, так и относительно вертикальной оси (см. рис. n1).  Движение гироскопа под действием внешних сил называется прецессией.

Если маховики не вращаются, то приложение внешней силы в какой либо точке оси, очевидно, приведет к смещению оси в направлении приложенной силы. Оказывается, если маховики быстро раскручены, то приложение внешней силы в прежней точке оси приводит к смещению вовсе не в направлении этой силы! В самом деле, будем считать, что гироскоп вращается с угловой скоростью относительно оси симметрии и, как правило, с угловой скоростью относительно вертикальной. В реальных гироскопах . Вследствие этого . Пусть внешняя сила приложена к оси гороскопа вертикально вниз. Эта внешняя сила создает момент относительно точки подвеса , направленный горизонтально в плоскость чертежа - . Согласно основному уравнению динамики твердого тела  получаем, что изменение момента импульса также будет направлено по горизонтали, иначе говоря . В этом случае модуль момента импульса не меняется, меняется только его направление в пространстве. Нетрудно усмотреть в этом выводе аналогию с вращательным движением точки, в которм ускорение перпендикулярно скорости . Следовательно  вектор  совершает медленное вращение относительно вертикальной оси – говорят, что прецессирует.

Пусть  угловая скорость прецессии. Тогда , (для сравнения ). Т.к. , то . Из этого соотношения можно определить угловую скорость прецессии:

                      (1)

Пример. Прецессия волчка. Волчок – быстро раскрученное симметричное относительно оси тело. (см. рис. n3). Рассмотрим регулярную прецессию оси волчка вокруг вертикальной оси. Ось волка отклонена на угол  относительно вертикали и вращается с малой угловой скоростью . Момент импульса волчка вследствие быстрого вращения относительно геометрической оси . За достаточно малый интервал времени - , где  - угол в горизонтальной плоскости. Из уравнения динамики: , где - момент силы тяжести относительно точки опоры. . Сравнивая, имеем:

,   - расстояние центра масс волчка от точки опоры.

Неинерциальные системы отсчета.

До сих пор все явления нами рассматривались в инерциальных системах отсчета, в которых справедлив принцип относительности Галилея. Существуют помимо инерциальных неинерциальные системы – движущиеся с ускорением. Рассмотрение каких – либо явлений в таких системах имеет особенности.

Наиболее простой вид неинерциальной системы отсчета – прямолинейно движущаяся с постоянным ускорением система. Физическая реализация такой системы – вагон, двигающийся с постоянным ускорением на прямолинейном отрезке пути.

Рассмотрим материальную точку, подвешенную на нерастяжимой, невесомой нити длины к потолку вагона. Очевидно, что нить отклонится на некоторый угол относительно вертикали. В лабораторной системе отсчета существуют две силы – сила тяжести  и сила натяжения нити . Под действием этих сил тело приобретает ускорение : . Записывая уравнение движения в проекциях (см. рис. n6) находим угол отклонения нити:

.

Перейдем в систему отсчета, связанную с вагоном. Силы тяжести и натяжения нити по- прежнему есть, однако в этой системе отсчета тело покоится. Очевидно, что имеется ненулевая сумма сил , при этом ускорение, подчеркнем, в системе вагона равно нулю. Возможно два вывода из этой неоднозначности: либо отказаться от II-го закона Ньютона в неинерциальной системе, либо изменить его вид, что он был справедлив в этой системе.