Координаты центра масс каркаса, составленного из тонких однородных стержней одинакового погонного веса и длин

Задание для контрольной работы по теоретической механике (статика С4)
	a.  Найти координаты центра масс каркаса, составленного из тонких однородных стержней одинакового погонного веса и длины l=0.44 м.
	b. Найти координаты центра масс однородной плоской фигуры, показанной на рисунке. Размеры указаны в метрах.
	c. Найти координаты центра масс однородной объемной фигуры, показанной на рисунке. Размеры указаны в сантиметрах.

Решение задачи a)

Для определения положения центра масс каркаса воспользуемся формулами :

         (1)

    В качестве массы будем использовать пропорциональную ей величину – длину элементов (стержней).

              Введем систему координат Oxyz соответственно показанному на рисунке.

              Координаты центров масс частей каркаса (стержней) в выбранной системе координат и их длины имеют значения:

                             x₁=0 м, y₁=0 м, z₁=-0.22 м, L₁=0.44 м;

                             x₂=-0.44 м, y₂=0 м, z₂=-0.22 м, L₂=0.44 м;

                             x₃=-0.44 м, y₃=0.44 м, z₃=-0.22 м, L₃=0.44 м;

                             x₄=0 м, y₄=0.44 м, z₄=-0.22 м, L₄=0.44 м;

                             x₅=-0.22 м, y₅=0 м, z₅=0 м, L₅=0.44 м;

                             x₆=-0.44 м, y₆=0.22 м, z₆=0 м, L₆=0.44 м;

                             x₇=-0.22 м, y₇=0.44 м, z₇=0 м, L₇=0.44 м;

                             x₈=0 м, y₈=0.22 м, z₈=0 м, L₈=0.44 м;

                             x₉=0 м, y₉=0 м, z₉=0.22 м, L₉=0.44 м;

                             x₁₀=-0.22 м, y₁₀=0 м, z₁₀=0.44 м, L₁₀=0.44 м;

                             x₁₁=-0.44 м, y₁₁=0 м, z₁₁=0.22 м, L₁₁=0.44 м;

              Подставим полученные значения в формулы (1) и найдем координаты центра масс С каркаса:

Решение задачи b)

Для определения положения центра масс плоской фигуры воспользуемся формулами :          (1)     В качестве массы будем использовать пропорциональную ей величину – площадь элементов.

Нашу фигуру можно представить в следующем виде:

Фигура = [1]Квадрат (2х2) + [2]Полудиск (R=1) –[3]диск (d=0.5) –[4]треугольник –[5]полудиск (R=0,4) –

-[6]прямоугольник – [7]сегмент

В формулах считаем, что «вычитаемые» части  имеют отрицательную массу и входят в эти формулы с отрицательным знаком.

              Введем систему координат Oxy соответственно показанному на рисунке.  Для проведения вычислений определим углы a₀, b и g :

Sina₀=0.5/1=0.5, то есть угол a₀=p/6 (Cosa₀=0.866 ).

              Угол g=(p/2)-b, это означает, что Sing=Cosb==0.894, Cosg=Sinb==0.447

              Координаты центров масс частей фигуры в выбранной системе координат и их площади имеют значения:

              x₁=1 м, y₁=1 м, S₁=4 м²;

              x₂=2+(4/3p)R=2.42 м, y₂=1 м, S₂=pR²/2= 1.57 м²;

              x₃=0.5 м, y₃=1.5 м, S₃=pR² =0.196 м²;

              x₄=2*(1/3)= 0.67м, y₄=0.33 м, S₄=(2*1)/2=1 м²;

              x₅=1+CD*Cosg=1+0.1699*0.447=1.076 м, y₅=0.5+CD*Sing =0.5+0.1699*0.894=0.6519 м, S₅=pR²/2=0.2512 м²;

              x₆=2+0.3+(1*Cosa₀-0.3)/2 =2.583 м, y₆=1 м, S₆=0.566 м²;

              x₇=2+0.958=2.958 м, y₇=1 м, S₇=0.023 м²;

              ПРИМЕЧАНИЯ: При вычислении положения центра масс полудиска [5] определяем его расстояние CD от центра полудиска по стандартной формуле. Размер и положение центра масс «вычитаемого» прямоугольника [6] определяем с помощью формул элементарной геометрии и данных для угла a₀. Положение центра масс «вычитаемого» сегмента [7] с углом раствора 2a₀ и радиусом R=1м определяем с помощью стандартной формулы, площадь сегмента определяем как разность площадей сектора с углом раствора p/3 и треугольника с основанием 1м и высотой 0.866 м.

              Подставим полученные значения в формулы (1) и найдем координаты центра масс С фигуры:

;

.

Решение задачи c)

Для определения положения центра масс объемной фигуры воспользуемся формулами :

         (1)

    В качестве массы будем использовать пропорциональную ей величину – объем элементов.

Нашу фигуру можно представить в следующем виде:

Фигура = [1]Параллелипипед (20х30х15) + [2]Призма (20х30х15) –[3]цилиндр (h=15, d=10)

В формулах считаем, что «вычитаемые» части  имеют отрицательную массу и входят в эти формулы с отрицательным знаком.

              Введем систему координат Oxyz соответственно показанному на рисунке.

              Координаты центров масс частей фигуры в выбранной системе координат и их объемы имеют значения:

                             x₁=15 см, y₁=10 см, z₁=7.5 см, V₁=9000 cм³;

                             x₂=(30+1/3*30)=40 см, y₂=10 см, z₂=(1/3*15)=5 см, V₂=4500 cм³;

                             x₃=20 см, y₃=10 см, z₃=7.5 см, V₃=p R² h= 1177.5 cм³;

              ПРИМЕЧАНИЕ: Призма 2 в сечении плоскостью, параллельной плоскости Oxz, представляет собой прямоугольный треугольник. Центр масс треугольника лежит на пересечении его медиан, то есть на расстоянии 1/3 от вершины треугольника с прямым углом по осям x и z соответственно.

              Подставим полученные значения в формулы (1) и найдем координаты центра масс С фигуры: