Экзаменационные вопросы по дисциплине "Дифференциальные уравнения" (Линейные операторы в Банаховом пространстве. Линейные системы. Матричные уравнения)

1)Основная теорема о существовании и единственности решений задачи Коши для ОДУ в одномерном случае (метод последовательных приближений)

2) Линейные операторы в Банаховом пространстве. Принцип сжимающих отображений.

Док-во основной теоремы в общем случае.

3)Варианты основной теоремы, Теорема Пеано, Теорема Осгуд.

4)Св-а решений, Непродолжаемость решений. Гладкость решения. Зависимость решения от параметров и нач. условий. Лемма Адамара

5)Линейные системы. Матричные уравнения

6)Вычисление матричной экспоненты (Метод рядов, Матричных разложений)

   Полиномиальные методы (Метод Гамильтона-Кэли, Интерполяц. полином Лагранжа,       Интерполяц. Ньютона)

7)Устойчивость нулевого решения. Уравнение Ляпунова. Теоремы Ляпунова, Шура. Ур-е Сильвестра. Реш-е ур-я Ляпунова. Теорема Коши, Обращение теоремы Ляпунова. Задача о дихотомии спектра.Задача о флаттере.

8)Устойчивость нулевого решения. Асиптотич. уст-ть. Ур-е Ляпунова. Решение ур-я Ляпунова. Обращение теоремы Ляпунова. Задача о дихотомии спектра.Задача о флаттере.

Теорема Островского. Неоднор. Лин-е сис-мы с постоянными коэф-ми.

Решение ограниченное на всей оси. Функция Грина. Оценка Гельфанда-Шилова

9)Краевая задача на полупрямой. Условие Лопатинского. Краевая задача на отрезке.       Ф-я Грина. Непрерывная зависимость решения от данных краевой задачи.

10)Метод ортогональной прогонки. Приём ортогонализации. Алгоритм.

11)Линейные системы с переменными коэффициентами. Однородные линейные системы. Матричные уравнения. Неоднородные линейные системы. Линейные уравнения n-ого порядка. Метод вариации постоянной. Линейные уравнения с постоянными коэф-ми.

Уравнения со специальной правой частью.

12)11 лекция. Уравнения упругих колебаний. Сила тока в цепи в установившемся режиме.

Краевые задачи.

13)Функция Грина краевой задачи. Спектральная теория. Задача о бусинках.

14)Задача Штурма-Лиувиля. Пространство .

     Неравенство Буняковского. Св-а собств. Знач. и собств. ф-ий задачи Штурма-Лиувилля.

15) Пространство .

     Неравенство Буняковского. Св-а собств. Знач. и собств. ф-ий задачи Штурма-Лиувилля.

Интегральные уравнения. Интегральные уравнения с непрерывным ядром.

Метод последовательных приближений(Ур-я с малыми ядрами).

Уравнения с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма для оператора с вырожденным ядром.

17) Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма для оператора с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма для оператора с непрерывным ядром.

Альтернатива Фредгольма.

18)Теоремы Фредгольма для непрерывных ядер. Следствия из Теорем Фредгольма. Теорема(Альтернатива Фредгольма). Интегральные операторы с эрмитовым непрерывным ядром. Лемма Арцела-Асколи. Теорема Арцела. Альтернатива Фредгольма для операторов с эрмитовым ядром. Неравенство Бесселя.

19) Альтернатива Фредгольма для операторов с эрмитовым ядром.

Теорема Гильберта-Шмидта.

Свойства собств знач и собств ф-ий задачи Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова.

20)Уравнение Бесселя. Полнота функции Бесселя.

21) Нули решений однородных линейных уравнений второго порядка. Теорема сравнения. Нули функции Бесселя. Метод рядов на примере уравнения Бесселя.

22)Устойчивость решений нелинейных систем. Функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Теорема Четаева о неустойчивости.

Устойчивость по первому приближению.

23)Устойчивость решений нелинейных систем. Центробежный регулятор.Исследования Вышнеградского. Траектории автономных систем.

24)Траектории автономных систем. Предельные множества траекторий. Предельные циклы на плоскости.

25)Предельные циклы при n=2. Теорема Бенидиксона. Функция последования. Поведение траекторий вблизи особых точек. Поведение траекторий вблизи особых точки нелинейной системы. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. Квазилинейное уравнение.

26)Первые интегралы. Теорема о неявной функции.