Математика \ Математический анализ

Функции нескольких переменных. Основные понятия, определения

Страницы работы

10 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

Глава 9

Функции нескольких переменных

9.1. Основные понятия, определения

1^°. - множество всех упорядоченных пар чисел (x,y) (троек чисел (x,y,z)). - множество всех упорядоченных наборов n чисел .

2^°. Функция f n переменных сопоставляет по определенному правилу каждому набору n чисел из области определения единственное значение u из области значений , что записывается в виде или В дальнейшем будем рассматривать функции двух (трех) переменных , .

3^°. Если (x,y) (или (x,y,z)) - декартовы координаты точки плоскости Oxy (или пространства Oxyz), то D – часть плоскости или вся плоскость (часть пространства или все пространство).

4^°.e - окрестность точки - множество всех точек , не совпадающих с точкой , расстояние до которых от точки меньше e: . Так, e - окрестность точки - множество точек M(x,y), удовлетворяющих условию - шар радиуса e без границы с выколотым центром .

5^°. Назовем точку внутренней точкой области, если она принадлежит этой области вместе со всеми точками какой – нибудь своей окрестности. Любая окрестность граничной точки области содержит точки, принадлежащие области, и точки, не принадлежащие области. Сами граничные точки могут принадлежать области, а могут не принадлежать.

6^°. Область называется замкнутой, если она содержит все свои граничные точки.

Пример 1. Найти и изобразить область определения функций:

а) ; б) .

Ñ а) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств (которую последовательно решаем) Следовательно, область определения множество точек .Область определения изображена на рис. 9.1.

б) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств

Рис. 9.1.

Область определения получается пересечением множеств:

- множество точек “под” параболой

, включая саму параболу;

- внутренность круга радиуса 1 с центром в точке

- вся плоскость Oxy, исключая точку

. Итак,

(рис. 9.2).

Рис. 9.2.

Задачи для самостоятельного решения

Найти области определения следующих функций:

1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. . 7. . 8.

9.2. Предел функции

Пусть функция определена на множестве D и точка .

1^°. Число А называется пределом функции f(M) при стремлении точки к точке (или, другими словами, при , если для любого, сколь угодно малого положительного e найдется такая d- окрестность точки , что для любой точки M из этой окрестности выполняется и обозначается . Этот предел не должен зависеть от способа (“пути”) стремления M к М₀.
Используя логические символы .Для функции двух переменных f (x,y) .

2^°. Функция f(M) называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при стремлении M к точке M₀, если . Практически, при вычислении удобно задать проходящую через точки M и М₀ линию в параметрической (или иной ) форме, сведя тем самым задачу к вычислению предела функции одной переменной по известным правилам и теоремам.

Пример 2. Вычислить пределы: а) , б)

Ñ а) Пусть точка M(x,y) из окрестности точки M₀(0,0) стремится к точке М₀ по прямой y=kx ( проходящей через точки М₀ и М). Тогда из следует и . Пределы получаются разными при различных “k” и не существует числа A, к которому значения становились бы сколь угодно близки, как только точка M(x,y) оказывается в достаточной близости от точки M₀(0,0). Предел данной функции при M®M₀(0,0) не существует.

б) =½находим предел вдоль луча y=kx (k>0, ) при x®¥½=½применим правило Лопиталя два раза½=.

– предел существует и равен нулю. #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы функций, полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям.

9. 10. 11.
12. 13.

9.3. Непрерывность функции

1^°. Функция f(M) называется непрерывной в точке , если выполнены условия : 1) f(M) определена в точке M₀ ; 2) существует ;

3) .

2^°. Функция f(M) называется непрерывной в области U , если она непрерывна в каждой точке области U.

3^°. Если в точке M₀ нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3) непрерывности функции в точке, то M₀ называется точкой разрыва функции f(M). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т.д.

Теорема 9.1 (Вейерштрасса). Если множество U, принадлежащее области определения функции f, является замкнутым и ограниченным, а функция f непрерывна на U, то f достигает на U своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют такие точки и , что для любой точки выполняется неравенство

Пример 3. Найти точки разрыва функций: а)

б)

Ñ а) Область существования функции есть множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию или - внутренность круга радиуса с центром в точке O (0;0). Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. , отсюда или . Таким образом, функция z(x,y) разрывна на окружности .

б) Функция u(x,y,z) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz точки разрыва функции образуют поверхность – конус. #

Задачи для самостоятельного решения

Найти точки разрыва функций двух переменных:

14. 15. 16.

Найти точки разрыва функций трех переменных:

17. 18.

19^*. Исследовать непрерывность функции при x = 0, y = 0:

1) . 2) .

3) .

9.4. Частные производные и дифференцируемость функции

1^°. Пусть M(x₁,…,x_k,…,x_n) – произвольная фиксированная точка из области определения D функции и точка Если существует предел

то он называется частной производной первого порядка данной функции по переменной x_k в точке M и обозначается или , или .

Частные производные вычисляются по правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме x_k , рассматриваются как постоянные.

2^°. Частными производными второго порядка функции по соответствующим переменным называются частные производные от ее частных производных первого порядка, они обозначаются: =, и т.д. Аналогично определяются частные производные порядка выше второго.

Теорема 9.2 Если смешанные производные непрерывны, то они совпадают: .

Таким образом, результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования при условии, что возникающие при этом “смешанные” частные производные непрерывны.

Пример 4. Найти частные производные первого и второго порядков от функции .