Свободно-связанные и связанно-свободные переходы

Лекция № 16

Свободно-связанные и связанно-свободные переходы

Если начальное состояние электрона является свободным, а конечное – связанным (рис 16.1а), говорят о фоторекомбинации в случае присоединения электрона к иону с образованием атома или о фотозахвате (фотоприлипании) в случае при-соединения электрона к атому (молекуле) с образованием отрицательного иона. Если свободным является конечное состояние, а начальное – связанным (рис 16.1б), говорят о фотоионизации атома или фотоотрыве электрона от отрицательного иона.

Фоторекомбинация

Рассмотрим захват свободного электрона водородоподобным ионом с излучением кванта и образованием водородоподобного атома.

 В классической механике переход от свободных состояний электрона к связанным является непрерывным. Строго движение можно считать квазиклассическим лишь для высоких электронных уровней, когда уровни энергии располагаются практически непрерывно. В этом случае энергия, излучаемая при захвате  электронов, движущихся со скоростью u ионами  (т.е. энергия излучения ед. объема в ед. времени) на группу уровней  есть

,  где  - плотность ионов                               (16.1).

В условиях ЛТР излучаемая энергия должна равняться энергии, поглощаемой при рассеянии  электронов на  ионах частоты  (см. (15.26)):

                                                (16.2)

Откуда

                                                                           (16.3)

Теперь нам необходимо установить связь между интервалом излучаемых частот и интервалом , на которой захватывается электрон. Рассмотрим электрон, который двигался с некоторой заданной скоростью  и был захвачен ионом на уровень  с энергией  и при этом излучился квант энергии . Из закона сохранения энергии имеем

                                                                                            (16.4)

Аналитическое выражение для  есть только для водородоподобного атома (иона). Энергетические уровни водородоподобного атома  характеризуются главным квантовым числом , пробегающим значения от 1 до ¥

;    (боровский радиус,  потенциал ионизации атома водорода, зарядовое число);  - абсолютная величина энергии основного состояния, т.е. потенциал ионизации. Подставляя значение в (16.4) и  дифференцируя (при ) получим ,     откуда

                                                                                         (16.5).

После подстановки (16.5) в (16.3) найдем сечение рекомбинационного излучения, связанное с захватом электрона на уровень  и излучением квантов частоты .

                                                                         (16.6).

Фотоионизация

Перейдем к рассмотрению процессов, связанных с поглощением атомом излучения частоты  и отрывом связанного электрона, находящегося в атоме на уровне , с образованием иона и свободного электрона. Как мы уже говорили, этот процесс носит название фотоионизации. Для нахождения сечения фотоионизации  и коэффициента поглощения связанно-свободных переходов

                                                                                             (16.7) воспользуемся принципом детального равновесия.

Вновь обратимся к формуле (16.1), где выражение в левой части есть, по сути дела, лучеиспускательная способность газа, связанная с захватом электронов на n-ый уровень и

                                                                                   (16.8)

Используя закон Кирхгофа (15.29) с учетом (16.7) из (16.8) имеем:

                                                       (16.9),

определяющую связь между сечением рекомбинационного излучения  и сечением фотоинизационного поглощения . Прежде чем преобразовать выражение (16.9) выпишем необходимые соотношения:

                                              (16.9а);

из (16.4) для фиксированного уровня

, а                                                                    (16.9b);

населенность n-го уровня

                                                                                                 (16.9с),

где для водородоподобного атома , а статистическая сумма атома

;

уравнение Саха, связывающее концентрации электронов, ионов и атомов:

                                                   (16.9d).

С учетом  (16.9а), (16.9b),(16.9c),(16.9d) формула (16.9) сильно упрощается

                                                                                (16.10).

Подставляя в (16.10) выражение  из (16.6) находим искомое сечение фотоионизации

                                                                          (16.11)

В формулу (16.11) удобно ввести пороговую (минимальную) частоту фотона, начиная с которой он может вырвать электрон с уровня , которая определяется из выражения (16.9b) если положить скорость равной нулю

                                                                                 (16.12),

тогда (16.11) с учетом (16.12) перепишется

                                      (16.13)

Выражение (16.13) также называется формулой Крамерса. Характерной особенностью сечения  является быстрое убывание (как ) с ростом квантового числа и обратная кубическая зависимость от частоты.

Более строгое квантовомеханическое рассмотрение фотоионизации водородоподобных атомов приводит к появлению в формуле (16.11) ((6.13)) поправочного множителя – фактора Гаунта [4]

,                                                          (16.14)

который в большинстве практически интересных случаев близок к единице.

Для сложных атомов, применения формулы (16.11) для основного состояния может давать значительную ошибку, особенно сильное отличие в  у существенно неводородоподобных атомов, как, например, у щелочных металлов.