Решение задачи Коши для системы. Решение краевой задачи для системы методом стрельбы

Отчет

1.  Рассматривается уравнение:    y”-2y’-3y=5exp(4x)

Это уравнение переводим в систему:  U’=V                                (1) , где y обозначен через U

                                                                 V’=2V+3U+5exp(4x)

Известно, решение системы=общее решение однородной сиситемы+частное решение неоднородной сиситемы.

Рассмотрим однородную систему.

                                             | 0   1  |

Матрица системы:  А=      | 3    2 |

Решаем уравнение  |A-λE|=0. Находим корни характеристического уравнения:  -1 и 3.

Соответствующие им собственные вектора: (1,-1) и (1,3);

Т.о общее решение однородной системы: z1=c1*(1,-1)*exp(-x)+c2*(1,3)*exp(3x)

Найдем частное решение неоднородной сиситемы:

т.к 4 не является корнем характеристиеского уравнения, будем искать частное решени в виде  a*exp(4x). Подставляя его в систему, находим, что a=(1,4).

Итак, общее решение системы:

                                    z= c1*(1,-1)*exp(-x)+c2*(1,3)*exp(3x)+(1,4)*exp(4x)

или

                                    U=c1*exp(-x)+c2*exp(3x)+exp(4x)                         (2)

                                    V=-c1*exp(-x)+3*c2*exp(3x)+4*exp(4x).

(1)  есть аналитическое решение системы.

2.  Решение задачи Коши для системы (1)

Рассматриваем промежуток x € [0,2].

Начальные условия: U(0)=0; V(0)=0

Аналитическое решение:

система на константы:     с1+с2+1=0

                                           -с1+3с2+4=0

Откуда находим  с1=0.25;  с2=-1.25; затем подставляя данные констант в (2) получим аналитическое решение задачи Коши.

Задача Коши решается методом Рунге-Кутта 4го порядка.

Для системы в общем виде:   U’=f(x,U,V)

                                                  V’=g(x,U,V)

 метод выглыдит следующим образом:

            u_n+1=u _n+1/6*h*(k1+2k2+2k3+k4)    

            v_n+1=v _n+1/6*h*(q1+2q2+2q3+q4);

где

            k1=f(x _n, y _n, z _n);                                            q1=g(x _n, y _n, z _n);

            k2=f(x _n+0.5h, y _n +0.5hk1, z _n +0.5hq1);       q2=g(x _n+0.5h, y _n +0.5hk1, z _n +0.5hq1);

            k3=f(x _n+0.5h, y _n +0.5hk2, z _n +0.5hq2);       q3=g(x _n+0.5h, y _n +0.5hk2, z _n +0.5hq2);

            k4=f(x _n+h, y _n +hk3, z _n +hq3);                      q4=g(x _n+h, y _n +hk3, z _n +hq3);

Для системы (1):

Функция f задается следующим образом:

float f(float x,float y,float z)

{float w;

w=z;

return w;

}

Функция g задается следующим образом:

float g(float x,float y,float z)

{float w;

w=2*z+3*y+5*exp(4*x);

return w;

}

Шаг сетки:h=2/n, где n-количество узлов. (рассматривается промежуток [0,2])

Нахождение решения задачи Коши:

yj=u;zj=v;        //u,v-начальные условия для U,V, соответственно. u=0;v=0;

for (i=1;i<=n;i++)

{

rk(i-1,yj,zj);

yi=yj+1./6*h*(k1+2*k2+2*k3+k4);               

zi=zj+1./6*h*(q1+2*q2+2*q3+q4);    

      yj=yi;zj=zi;

}

void rk(int k,float uj,float vj, float s)

{

k1=f(a+k*s,uj,vj);

q1=g(a+k*s,uj,vj);

k2=f(a+k*s+0.5*s,uj+0.5*s*k1,vj+0.5*s*q1); q2=g(a+k*s+0.5*s,uj+0.5*s*k1,vj+0.5*s*q1);

k3=f(a+k*s+0.5*s,uj+0.5*s*k2,vj+0.5*s*q2); q3=g(a+k*s+0.5*s,uj+0.5*s*k2,vj+0.5*s*q2);

k4=f(a+k*s+s,uj+s*k3,vj+s*q3);                    q4=g(a+k*s+s,uj+s*k3,vj+s*q3);}

Погрешность:

При шаге h погрешность численного решения, полученного по  методу порядка p, равнялась K, то при шаге h/2  погрешность  K1 уменьшается в 2^p раз.  т.е чтобы определить порядок надо погрешность при N поделить на погрешность при 2N

Получим величину ≈ 2^p

·  в пространстве С

Norm_Cρ=max ((U(xj)-Uт(xj))²+(V(xj)-Vт(xj))²)^1/2=Ch^s

^j

N	NormCρ	Отношение погр(N)/ погр(2*N)
10	26.0654583	12.0386496
20	2.1651480	13.97974528
40	0.1548775	16.5740861
80	0.0093446	2.351256825
160	0.0039743	0.8049358
320	0.0049374	1.6349548
640	0.0030199	0.7671125
1280	0.0039366	0.5016313
2560	0.0078468	1.5758086