Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Ортогональные системы функций

Г Л А В А  13

РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕРАЛ ФУРЬЕ

13.1.  ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ.

ОСНОВНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ (ОТС)

          Пусть на [a,b] заданы функции f(x) и , такие, что  - интегрируемая на [a,b] функция. Функции f(x) и  называются ортогональными на [a,b], если  .

Бесконечная система функций

                                                                                          (1.1)

называется ортогональной  на [a,b], если     и   эти функции попарно ортогональны на [a,b].

Примеры ортогональных систем: 

а) Основная тригонометрическая система (ОТС):

                           1, cosx,  sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx,…                              (1.2)

ортогональна на .

б) Система функций:

                                                  sinx, sin2x,…, sinnx,…                                           (1.3)

ортогональна на .

в) Тригонометрическая система (ТС):

                                           (1.4)

    ортогональна на .

13.2.    РЯД ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ

          Пусть задана произвольная, ортогональная на [a,b] система функций (1.1).

Ряд                                       (2.1)

называется рядом Фурье для функции f(x) по системе (1.1), если

                                                                                               (2.2)

, вычисленные по формуле (2.2) называются коэффициентами Фурье.

13.3.    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

а) Ряд Фурье по ТС (1.4)

Теорема 1. (Дирихле). Если - периодическая функция с Т = 2l, кусочно-гладкая на   (на этом интервале f(x) и  имеют не более конечного числа точек разрыва, притом лишь первого рода), то тригонометрический ряд Фурье по ТС (1.4) для f(x)

                                              ,                               (3.1)

где

 , n=1,2,3…(3.2)

сходится к f(x), если x – точка непрерывности f(x) и к , если x – точка разрыва f(x), где  и - соответственно левый и правый пределы f(x) в точке x:

 

- называются коэффициентами Фурье.

          Функция , совпадающая с  в  и удовлетворяющая условию , называется периодическим продолжением  на всю ось Ox.

          В ряд Фурье можно разложить и непериодическую кусочно-гладкую функцию, заданную лишь в интервале , вычисляя коэффициенты  по формулам (3.2). Полученный ряд будет сходиться на всей числовой оси, а его суммой будет - периодическое продолжение  на ось Ox.

          При вычислении коэффициентов Фурье в формулах (3.2) интервал интегрирования можно заменить любым интервалом  длины 2l.

б) Неполные ряды Фурье.

          Если - четная функция, то

                     .                         (3.3)

Ряд Фурье примет вид: .

Если - нечетная функция, то        (3.4)

и ряд Фурье принимает вид .

в) Функцию , кусочно –гладкую в интервале , можно разложить в ряд Фурье только по косинусам или по синусам. Для этого достаточно продолжить  четным или соответственно нечетным образом на интервал  и для полученной на   функции составить ряд Фурье. Коэффициенты Фурье будут при этом вычисляться по формулам соответственно (3.3) или (3.4).

г) Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье для  , периодической с Т = 2l, а также для , заданной на  имеет вид

,      .

Связь между  и  следующая:

; ;  ;     .

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию , определенную равенствами: 

Ñ Начертим график заданной функции:

                                                            Рис.1.

является кусочно-гладкой на , периодической с . Ряд Фурье будет иметь вид:  ; 

.

Запишем ряд Фурье:

(сумма ряда записана в соответствии с теоремой 1: в точках непрерывности  ряд Фурье сходится к , а в точках разрыва - к среднему арифметическому односторонних пределов  в этих точках).#

Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам  на отрезке [0,2].

Ñ Продолжим  четным образом на [-2,0], а затем построим периодическое продолжение функции, заданной на [-2,2] на всю ось Ox:

                                                  Рис.2.

Получим непрерывную на  функцию; l = 2.

Ряд Фурье имеет вид:  ;

.

Ряд Фурье:   #

Пример. Представить рядом Фурье в комплексной форме периодическую функцию  , определенную для  равенством .

Ñ Построим график данной функции.

                                                          Рис. 3.