Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена

Справа в этом равенстве – сумма геометрической прогрессии. Если , то , откуда  . Зная, что   .#

Пример. Найти сумму ряда 

Ñ Обозначим сумму ряда через :

                             

Этот ряд сходится в интервале (-1, 1). На основании теоремы 6 его можно почленно интегрировать на любом отрезке .

. Сумма последнего ряда – сумма геометрической прогрессии, для которой . Таким образом, . Продифференцируем обе части этого равенства:  (производная интеграла с переменным верхним пределом интегрирования по этому пределу). .

 Итак,  . #

Задачи для самостоятельного решения

Найти сумму ряда в № 25-31.

25.    26.

27.           28.             29.

30.        31. Исходя из соотношения , найти сумму ряда:    а) ;      б) .   32. Доказать, что ряд  сходится равномерно на , но что его нельзя дифференцировать ни в какой точке этого интервала.

12.5.    РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД

ТЕЙЛОРА  И МАКЛОРЕНА

Пусть функция  имеет в т.  и некоторой ее окрестности производные любого порядка. Ряд

                                                                                          (5.1)

называется рядом Тейлора для функции f(x). Если же для всех значений x из некоторой окрестности т.  ряд сходится и имеет суммой f(x), т.е.

                                            ,

то f(x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности т.  ( или по степеням ). Если x = 0, то ряд Тейлора имеет вид

                

и называется рядом Маклорена.

Теорема 8. Для того, чтобы функция  была разложима в ряд Тейлора в окрестности т. , необходимо и достаточно, чтобы .

          - остаточный член формулы Тейлора. Записанный в форме Лагранжа, он имеет вид: ,

Теорема 9. Если  имеет в некотором промежутке, содержащем т. , производные всех порядков, для которых , то  при  и значит  разложима в этом промежутке в ряд Тейлора.

То же самое в символической записи :

.

При разложении  в ряд Тейлора применяют следующие приемы:

1) Непосредственное разложение в ряд Тэйлора, которое состоит из трех этапов: a)формально составляют ряд Тэйлора, для чего находят для любых n, вычисляют  и подставляют найденные значения в (5.1); b) находят область сходимости ряда (5.1); c) выясняют, для каких значений x из области сходимости ряда , т.е. для каких x имеет место равенство: .

2) Использование готовых разложений:

.

Пример. Разложить  в ряд Тейлора в окрестности т. x = 2.

Ñ Решим эту задачу двумя способами.

I способ. Используем непосредственное разложение функции в ряд Тейлора:1)

;

……………………………………………………

……………………………………………………

Вычислим найденные производные в т. x = 2:

…,

,…

Составим формально ряд Тейлора:

                  (5.2)

б) Найдем область сходимости ряда (5.2), используя признак Даламбера:

Этот результат будет справедлив при любых x, следовательно, ряд (5.2) сходится на всей числовой оси: .

в) Докажем, что при всех x ряд (5.2) сходится к , для чего достаточно показать, что  при :

 при

. Как результат решения задачи можем записать:

, .

II способ. Разложим  в ряд Тейлора в окрестности т. x = 2, используя готовое разложение. Преобразуем  следующим образом:

.

В ряд Маклорена для cosx

                                               (5.3)

справа и слева вместо x подставим , получим:

                                       ;                          (5.4)

(т.к. в (5/3)  #

При разложении функции в ряд часто используют почленное дифференцирование и интегрирование рядов.

Пример. Разложить в ряд Маклорена  .

Ñ Предварительно разложим в ряд Маклорена функцию , для чего в разложении  заменим x на . 

                              .

Поэтому   (получившийся ряд сходится и в граничных точках). #

Задачи для самостоятельного решения

Следующие функции разложить в ряд Маклорена

33. ;   34.    35. ;   36.;   37. ;   38. ;

39. ;   40. .   41. ;   42. ;   43. .

44. ;   45. ;   46. ;   47. .

Следующие функции разложить в ряд Тейлора в окрестности т. .

Указать область сходимости найденного ряда к своей сумме.

48. .   49. .   50. .   51. .

52. .   53. .   54. .

55. .   56. .

12.6.    ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ                                      

Если некоторое число S разложено в ряд

                                                                               (6.1)

                                  и   ,

то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится остатком

                                       .

Как произвести оценку погрешности?