Лекция 11.
Релятивистская кинематика.
Аберрация.
Пусть в системе движется частица со скоростью
под углом
к оси
. Определим, под каким углом
к оси
движется
частица в системе отсчета
.
В системе отсчета проекции скоростей
частицы на оси
соответственно:
. Применяя формулы преобразования
скоростей, имеем:
(1)
Откуда:
. (2)
В предельном случае -
распространение светового фронта в обеих системах отсчета
происходит со скоростью
, находим:
(3)
Формулы (3) описывают явление
световой аберрации. Преобразование угла как
функции
получается из (3) заменой
. Выпишем полученные зависимости:
(4)
Исследуем полученные выражения.
На космическом корабле имеется «прожектор», излучающий свет, например, в
переднюю полусферу: . Согласно (3):
Если движение корабля происходит с ультрарелятивистскими
скоростями: , то
- свет,
излученный в переднюю полусферу в системе корабля соберется в узкий световой
конус
в неподвижной системе отсчета
. Этот эффект называется эффектом «фары».
Отметим, что:
- свет, излученный в заднюю
полусферу в системе отсчета
,
распределяется за пределами узкого светового конуса с углом раствора
в системе отсчета
.
Явление аберрации искажает картину звездного
неба, наблюдаемого в релятивистском космическом корабле. Согласно формулам (4)
с точки зрения космического наблюдателя свет от удаленных источников движется
со скоростью . Допустим, что в неподвижной системе
отсчета
свет от удаленного источника падает на
корабль под углом
относительно направления
скорости корабля. В системе корабля -
угол,
под которым будет наблюдаться световой пучок:
(5)
Если угол меняется в диапазоне от
до
-
рассматривается передняя полусфера звездного неба, то
.
Вся звездная полусфера будет рассматриваться наблюдателем в корабле в угле
.
Впервые экспериментально
аберрацию света от удаленных звезд наблюдал Д. Бредли (1725). Он обнаружил, что
звезда Дракона, находящаяся практически в Земном
зените совершает сезонное движение с периодом в один год по круговой траектории
с диаметром 40,5 дуговых секунд. Согласно (4) при
и
. Орбитальная скорость
Земли составляет
. В дуговых секундах
.
Аберрацию легко понять, применив аналогию между распространением света и падением дождевых капель. В отсутствии ветра дождевые капли падают на неподвижного человека вертикально, если человек движется, то дождевые капли падают под некоторым углом относительно вертикали.
Алгебра 4-х векторов.
Назовем четверку чисел расположенных в порядке 4-х вектором события. В 4-х векторе
принято называть 0-ю компоненту
временной, а 1, 2, 3-ю компоненты
пространственными
. Ранее получены Лоренцевы
преобразования координат и времени при переходе из систем отсчета
в
и
обратные. Другими словами формулы преобразования определяют соотношения между
4-х векторами событий в различных системах отсчета. Удобно записать эти
преобразования в матричной форме. Считая любой 4-х вектор события вектором –
столбцом нетрудно представить линейное преобразование координат как
перемножение матрицы
коэффициентов на вектор -
столбец события:
.
Используя правила перемножения матриц имеем:
(6).
Здесь , всюду далее
обозначаем
. В матричной записи преобразований предполагается,
что
. Обычно знак суммирования по
повторяющемуся индексу опускают, предыдущая запись равносильно выглядит как:
. Обратное преобразование от компонент
4-х вектора события
к компонентам
, как нетрудно получить будет записываться
в форме:
, где
элементы
обратной матрицы. Очевидно, что
- дает единичную
матрицу, матрицу у которой на главной диагонали стоят 1. В матице обратного
преобразования произведена замена
. Окончательный вид
обратного преобразования имеет вид:
(7)
Непосредственным перемножением из (6)
на
из нетрудно убедиться, что
.
Любая четверка чисел преобразующихся
по закону (7) -преобразования компонент 4-х вектора события называется 4-х
вектором.
Введенный подобным образом объект –4-х вектор подчиняется правилам векторной алгебры.
Сложение 2-х 4-х векторов выполняется по правилу: если - 4-х вектора, то
.
Определим скалярное произведение 4-х векторов следующим
правилом. Пусть . Назовем скалярным произведением
величину:
(8)
Наиболее важным свойством
скалярного произведения векторов является его инвариантность. Инвариантность
(от лат. invariantis – неизменяющийся) означает
сохранение величины скалярного произведения в различных системах отсчета. В
релятивистской кинематике следует убедиться в неизменности скалярного
произведения в случае Лоренцева преобразования компонент векторов. Прямой
подстановкой компонент , выраженных через
согласно формулам (7) нетрудно убедиться,
что:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.