Реакция системы на произвольную функцию времени

Реакция системы на произвольную функцию времени [1, c.182].

          Пусть для системы с передаточной функцией  известна реакция на единичную импульсную функцию . Эта реакция называется функцией веса. Она связана с передаточной функцией преобразованием Лапласа:

Если на вход системы поступает функция времени , изображение которой , то изображение выходной величины имеет вид произведения:

.

Функция времени на выходе, согласно теореме свёртывания, имеет вид:

.

Здесь ,  – оригиналы функций , . То есть  – функция веса, а интеграл – интеграл Дюамеля.

Уравнение с переменными коэффициентами [4, c.502].

С помощью преобразования Лапласа можно интегрировать некоторые виды дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами следующего вида:

.

Коэффициенты  – полиномы от t. Преобразование Лапласа:

, , , .

В результате имеем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно изображения . Порядок равен наивысшей степени t в исходном уравнении. Преобразованное уравнение оказывается проще исходного, хотя и остаётся уравнением с переменными коэффициентами.

Пример уравнения [4, с.504].

.

Начальные условия: , . Уравнение относительно изображения:

, .

Разделение переменных даёт:

, , .

По теореме о начальном значении оригинала:

. Следовательно, .

Определение оригинала осуществляется по таблице: .