Распространение быстрых заряженных частиц через вещество

 

Потери энергии частицей на возбуждение и ионизацию
(Зелевинский, с.262)

Постановка задачи

Имеется среда, с плотностью N невзаимодействующих атомов (газ).

Все атомы находятся в основном состоянии (обозначенном 1)

Взаимодействие частицы с отдельным атомом определяется сечением неупругого рассеяния (лекция 13).

Путь, проходимый частицей в среде - х ,

Т – кинетическая энергия частицы.

 

Общая формула для потери энергии на единицу длины

Число столкновений частицы на длине пути dx с переходом атома 1® n

,    

где

.

(Скорость частицы «включена» в сечение !).

Энергия, теряемая частицей в каждом акте рассеяния
с возбуждением атома на n-ый уровень, равна

.

Умножив               на        , получим потери энергии частицей на длине dx в канале, соответствующем переходу атомов 1® n:

Просуммировав по всем состояниям (каналам рассеяния), получим
полную потерю энергии частицей на единице длины

Переходя от интегрирования по  к интегрированию по разностному вектору  (), (как это сделано в лекции 13), получим формулу для потерь энергии на единицу длины

     (*)

 

Сечение

 

Сечение неупругого столкновения выразим формулой из лекции 13, (Л.Л.III, §148)

,    (* *)

где   – матричный элемент от фурье-компонент плотности электронов в атоме (Ландау,706), равный

          ..

Здесь суммирование проводится по всем электронам в атоме;  - элемент конфигурационного пространства электронов атома;

 и  - начальная и конечная волновые функции электрона.

Замечание

Дискретные и непрерывные конечные состояния отличаются нормировкой соответствующей волновой функцией

 

Вычисление

Подставив (* *)  в (*) можно, в принципе, вычислить  - потерю энергии частицей на единице длины. Однако вычисление суммы в (*) сильно осложняется тем, что в силу законов сохранения пределы интегрирования и  сами зависят от конечного состояния n.

 

Теорема суммирования (Ландау, с.715) аналогичная более известному правилу суммдля сил осциллятора, , существенно упрощает задачу нахождения∑ в (*).

Отметим ключевые моменты теоремы суммирования и правила сумм.

Сила осциллятора

По определению  есть отношение интенсивности спектральной линии спонтанного излучения атома к интенсивности излучения классического диполя (осциллятора) на собственной частоте, равной частоте перехода

ω_осцил= ω_n1= (E_n-E₁)/ћ.

Энергия классического осциллятора с зарядом е и массой m_e из-за излучения в окружающее пространство затухает по закону

 с характерным временем     

 

Время затухания спонтанного излучения связано с вероятностью излучения A_cn соотношением

откуда

 

Правило сумм для  (дипольное правило Томаса-Райхе-Куна)

Безразмерная величина  обладает удивительным свойством (правило сумм):

где Z – число электронов в атоме.

Доказательство правила сумм для осцилляторов см. в Лоудон, с.122 и далее; Собельман, с.403; Ландау, с.715; Давыдов, 468, Зелевинский, 135.

 

Теорема суммирования

Аналогичную теорему суммирования (Ландау, с.715) (или правило сумм для флуктуаций плотности, (Зелевинский, с.136)) можно доказать для флуктуаций плотности вероятности. Для перехода 1®n она определяется соотношением (Зелевинский):

,

сумма интегралов в котором есть матричные элементы от пространственной по q фурье-компоненты плотности вероятности (заряда) в атоме.

Видно, что существенно отличается от формулы для силы осциллятора .

Можно показать, что сумма по всем состояниям от также как и для сумм для сил осцилляторов равна Z – числу электронов в атоме:

Соотношение (Ä) известно как теорема суммирования. С ее помощью легко вычисляются удельная потеря энергии частицы по формуле (*).

 

С учетом  выражение (*) можно представить в виде

Знак интеграла нельзя вынести из под знака суммы, так как q_min = (E_n-E₁)/ћV.

 

Разобьем область интегрирования на два участка от q_min до q₀ ≈ 1/а₀ и от q₀ до q_max .

В первой области для  f_n1 можно воспользоваться дипольным приближением (**) – нет зависимости от q !

 

Следовательно при  qa₀ < 1  имеем

 .

 

В другом предельном случае  qa₀ > 1  получим

Сложив оба выражения, получим

Введем некоторую среднюю энергию возбуждения I₁, определяемую соотношением

тогда

  (@)

это ионизационные потери, куда входит всего одна характерная для атома постоянная I₁.  Для водорода она равна I₁≈ 0.55(me⁴/ћ²) = 14.9 эВ.

Таким образом, ионизационные потери определены в зависимости от максимального импульса, который можно передать электрону атома при столкновении.

 

распространении легких частиц.

Торможение электрона

 

При столкновении с большой передачей импульса оба электрона (падающий и атомный) могут приобрести сравнимые по величине скорости:  нужно учитывать обменные эффекты (частицы становятся тождественными !).

 

Для быстрых электронов сечение рассеяния на Z электронах атома было определено нами ранее (лекция 13). Используя его можно показать:

При передаваемой энергии, меньшей некоторого значения  , потери можно представить в виде:

     (&)- ионизационные потери.

Припередаче энергии от  до , воспользовавшись ранее выведенным выражением для сечения, получим

. (&&)

Величина  связана с  соотношением. . Тогда складывая (&) с (&&) для потерь электрона получим

.

 

Торможение позитрона

При рассеянии позитрона на атоме обменные эффекты не работают и  можно найти из условия , т.е. .  Тогда

.

 

распространении тяжелых частиц.

Потери энергии частицы на ионизацию