Другой пример: частица вращается на ниточке по окружности
радиуса с постоянной скоростью
. Работа не совершается т.к. сила натяжения
ниточки перпендикулярна скорости. А кинетическая энергия в системе отсчета,
движущейся равномерно со скоростью
меняется от 0 до
. Как это объяснить?
Получим закон преобразования кинетической
энергии системы частиц при переходе из одной инерциальной системы отсчета в
другую. Пусть имеется неподвижная система отсчета и
движущаяся со скоростью
система
. Для любой
-ой
частицы
. Полный импульс частиц в системе
-
,
соответственно в системе
-
, где
-
полная масса системы частиц.
Преобразуем энергию:
. (8)
Перейдем в систему отсчета в которой центр масс покоится. В
этой системе т.к.
. Отсюда
(8) примет вид:
(9)
Равенство (9) выражает собой теорему Кенига: кинетическая энергия системы частиц в лабораторной системе отсчета равна сумме кинетических энергий системы в системе центра масс и кинетической энергии относительного поступательного сдвига полной массы системы со скоростью центра масс.
Потенциальная энергия.
Рассмотрим работу, совершаемую при перемещении
частицы в некотором силовом поле . Простой пример
силового поля представляет собой однородное поле тяжести, котором действующая
сила:
. Допустим, что наряду с силовым полем
действует также внешняя сила
. Для простоты рассмотрим одномерный
случай, в котором
и
направлены
вдоль одной оси. Согласно (4):
,
или
. (10)
Можно подобрать внешнюю силу такой, чтобы . Ясно, что в этом случае
.
Возникает вопрос – куда идет работа внешней силы?
Определим потенциальную энергию таким образом, чтобы ее
изменение , тогда работа внешней силы
равна таким образом определенному
изменению потенциальной энергии
. Потенциальная энергия
определяется изменением положения частицы в силовом поле. В общем случае
работа при бесконечно малом перемещении
, в случае конечного пути –
. (11)
Подчеркнем, что в выражении (11) существенен знак минус.
Силовые поля , в которых значение интеграла (11) не
зависит от пути перемещения, называются консервативными или потенциальными.
В противном случае определение потенциальной энергии теряет смысл. Другим
равносильным определению о независимости интеграла от пути консервативности
силы является равенство нулю работы по замкнутому контуру. Действительно, интеграл
по замкнутому контуру в поле консервативных сил
,
поскольку значения потенциальной энергии на концах контура совпадают т.е.
. (см. рис n2)
Примеры. Потенциальная энергия деформации пружины. При
изменении длины пружины на возникает сила
упругости пропорциональная удлинению
. Изменение
потенциальной энергии:
. Потенциальная энергия
определена с точностью до константы, т.к. измеряется всегда только изменение
потенциальной энергии. В приложении к потенциальной энергии упругой деформации
удобно считать
. Тогда
,
x – удлинение.
Потенциальная энергия в поле тяготения. Гравитационное поле называется центральным, поскольку сила тяготения действует в направлении радиус – вектора, соединяющего взаимодействующие тела. При произвольном выборе начала отсчета системы (см. рис n3):
. Учитывая, что
, поскольку сила действует по линии соединяющей
тяготеющие тела, получаем:
Сила, действующая со стороны тяготеющего центра массы на частицу массы
,
помещенную в поле:
. Изменение потенциальной энергии
между точкам, отстоящими от центра на расстояния
:
(12)
Удобно считать потенциальную энергию на больших расстояниях стремящейся к нулю:
, при такой калибровке-
(13)
Соотношение между силой и потенциальной энергией
Для одномерного движения непосредственно из определения (11) следует выражение силы через потенциальную энергию:
(14)
В общем случае, когда известна функция определим убыль потенциальной энергии как
работу силы при бесконечно малом перемещении
.
Расписывая скалярное произведение покомпонентно, имеем:
. Применяя правила вычисления
полного дифференциала функции многих переменных, находим:
. Сравнивая коэффициенты при одинаковых
приращениях координат, получаем:
(15)
Формулы (15) записываются в векторном виде как:
(16)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.