Работа и энергия. Преобразование кинетической энергии при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, страница 2

Другой пример: частица вращается на ниточке по окружности радиуса с постоянной скоростью . Работа не совершается т.к. сила натяжения ниточки перпендикулярна скорости. А кинетическая энергия в системе отсчета, движущейся равномерно со скоростью меняется от 0 до . Как это объяснить?

            Получим закон преобразования кинетической энергии системы частиц при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Пусть имеется неподвижная система отсчета  и движущаяся со скоростью система . Для любой -ой частицы . Полный импульс частиц в системе  -, соответственно в системе - , где - полная масса системы частиц.

Преобразуем энергию:

. (8)

Перейдем в систему отсчета в которой центр масс покоится. В этой системе  т.к. . Отсюда (8) примет вид:

                                             (9)

Равенство (9) выражает собой теорему Кенига: кинетическая энергия системы частиц в лабораторной системе отсчета равна сумме кинетических энергий системы в системе  центра масс и кинетической энергии относительного поступательного сдвига полной массы системы со скоростью центра масс.

Потенциальная энергия.

            Рассмотрим работу, совершаемую при перемещении частицы в некотором силовом поле . Простой пример силового поля представляет собой однородное поле тяжести, котором действующая сила: . Допустим, что наряду с силовым полем  действует также внешняя сила . Для простоты рассмотрим одномерный случай, в котором и направлены вдоль одной оси. Согласно (4):

,

или

.                                        (10)

Можно подобрать внешнюю силу такой, чтобы . Ясно, что в этом случае .

Возникает вопрос – куда идет работа внешней силы?

Определим потенциальную энергию таким образом, чтобы ее изменение , тогда работа внешней силы  равна таким образом определенному изменению потенциальной энергии  . Потенциальная энергия определяется изменением положения частицы в силовом поле. В общем случае работа при бесконечно малом перемещении , в случае конечного пути –

.                                 (11)

Подчеркнем, что в выражении (11) существенен знак минус.  Силовые поля , в которых значение интеграла (11) не зависит от пути перемещения, называются консервативными или потенциальными. В противном случае определение потенциальной энергии теряет смысл. Другим равносильным определению о независимости интеграла от пути консервативности силы является равенство нулю работы по замкнутому контуру. Действительно, интеграл по замкнутому контуру в поле консервативных сил , поскольку значения потенциальной энергии на концах контура совпадают т.е.. (см. рис n2)

Примеры. Потенциальная энергия деформации пружины. При изменении длины пружины на  возникает сила упругости пропорциональная удлинению . Изменение потенциальной энергии:

. Потенциальная энергия определена с точностью до константы, т.к. измеряется всегда только изменение потенциальной энергии. В приложении к потенциальной энергии упругой деформации удобно считать . Тогда , x – удлинение.

Потенциальная энергия в поле тяготения. Гравитационное поле называется центральным, поскольку сила тяготения действует в направлении радиус – вектора, соединяющего взаимодействующие тела. При произвольном выборе начала отсчета системы (см. рис n3):

. Учитывая, что , поскольку сила действует по линии соединяющей тяготеющие тела, получаем:

Сила, действующая со стороны тяготеющего центра массы на частицу массы , помещенную в поле: . Изменение потенциальной энергии между точкам, отстоящими от центра на расстояния :

                       (12)

Удобно считать потенциальную энергию на больших расстояниях стремящейся к нулю:

, при такой калибровке-

                                             (13)

Соотношение между силой и потенциальной энергией

            Для одномерного движения непосредственно из определения (11) следует выражение силы через потенциальную энергию:

                                          (14)

В общем случае, когда известна функция  определим убыль потенциальной энергии как работу силы при бесконечно малом перемещении. Расписывая скалярное произведение покомпонентно, имеем:

. Применяя правила вычисления полного дифференциала функции многих переменных, находим: . Сравнивая коэффициенты при одинаковых приращениях координат, получаем:

                           (15)

Формулы (15) записываются в векторном виде как:

                          (16)