Примеры решения задач типового расчёта по линейной алгебре и аналитической геометрии

Примеры решения задач типового расчёта

по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Задача 1.1. Вычислить, представить ответ в алгебраической, тригонометрической, показательной формах.

Решение.  Представим комплексное число в тригонометрической форме. Для этого находится его модуль: , далее вычисляется аргумент комплексного числа: , либо , наконец,

, где , если комплексное число находится в первой или четвертой четверти, , если комплексное число находится во второй или третьей четверти. В данном случае аргумент комплексного числа равен: .

Поэтому тригонометрическая форма имеет вид: .

По формуле Муавра , где - аргумент комплексного числа , получаем:

,

окончательно: =.

В алгебраической форме: =,

в показательной форме:    =.

Задача 1.2. Вычислить .

Решение. Представим комплексное число  в тригонометрической форме:

=. Воспользуемся следующей формулой извлечения корня из комплексного числа : ), где=0,1,2,…,.

Т.е. корень -ой степени из комплексного числа принимает ровно  значений. Точки комплексной плоскости, соответствующие значениям , являются вершинами правильного многоугольника, вписанного в окружность радиуса  с центром в начале координат.

В данном примере получаем: =, где . Тогда корни принимают значения:

=(+),                         =(+),

=(+),                     =(+).

Для построения этих комплексных чисел на комплексной плоскости  проведем окружность радиуса . На окружности отметим точку =(+), далее, разбивая окружность на четыре равные части , изобразим остальные точки ,, . Заметим, что радиан соответствуют примерно.

Задача 2. Найти произведение матриц , где и .

Решение. ===

Задача 3. Найти матрицу, обратную данной. Сделать проверку. .

Решение. Находим определитель матрицы .

=, т.е. данная матрица является неособенной, обратная матрица существует. Вычислим соответствующие алгебраические дополнения :

==;           ==;          ;

;       ;          ;

;          ;        .

Находим обратную матрицу :

=. Проверка заключается в перемножении матриц

 (единичная матрица). Последнюю операцию выполнять аналогично примеру 2.

Задача 4. Решить систему линейных алгебраических уравнений  (СЛАУ) с помощью обратной матрицы: .

Решение. Найдем обратную матрицу к матрице системы .

Аналогично примеру 3 получаем =

Вектор – столбец решений находится по формуле:

=, или  Проверка осуществляется непосредственной подстановкой найденных значений неизвестных в исходную СЛАУ.

Задача 5. Найти ранг матрицы .

Решение. Последовательно осуществляем линейные преобразования строк данной матрицы для приведения ее к ступенчатому виду.

Шаг 1. Переставим в данной матрице первую и вторую строки.

Шаг 2. Умножим первый столбец на 1/2, четвертый столбец умножим на 1/5. В результате получим: .

Шаг 3. Умножим на 2 первую строку и прибавим её к третьей («заработаем» нуль на месте «3-1»,т.е. вместо (–2) получим (0)). В результате получим: .

Шаг 4. Умножим на –3 вторую строку и прибавим её к третьей («заработаем» нуль на месте «3-2»,т.е. вместо (–3) получим (0)). Получим:

Таким образом, получили ступенчатую матрицу эквивалентную данной, в которой две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2: .

Задача 6. Решить систему методом Гаусса: .

Решение. Запишем расширенную матрицу  СЛАУ:

.

С помощью эквивалентных преобразований приведём матрицу к верхнетреугольному виду (прямой ход метода Гаусса).

Шаг1. Вычтем из второй строки первую, результат умножим на (–1/2):

Шаг 2. Вычитаем из третьей строки первую, умноженную на 2:

Шаг 3. Вычитаем из четвёртой строки первую, умноженную на 3:

Шаг 4. Прибавляем к третьей строке вторую, умноженную на 5, результат делим на 2:

Шаг 5. Вычитаем из четвёртой строки вторую:

Шаг 6. Прибавляем к четвёртой строке третью, умноженную на 6, результат делим на 17:

Теперь с помощью эквивалентных преобразований приведём матрицу к диагональному виду (обратный ход метода Гаусса).

Шаги 7, 8, 9. От третьей строки отнимаем четвёртую, умноженную на 2; от второй строки отнимаем четвёртую; от первой строки отнимаем четвёртую.

Шаги 10, 11. От первой строки отнимаем третью; от первой строки отнимаем вторую.

Теперь в последнем столбце получились искомые значения переменных, т.е.

Задача 7. Найти размерность и базис подпространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (ОСЛАУ). .

Решение. Применим прямой ход метода Гаусса (приведем систему уравнений к верхнетреугольному виду).  Поступая аналогично примеру 6 вычтем из второй строки первую, умноженную на 3; вычтем из третьей строки первую, умноженную на 2; прибавим первую строку к четвёртой; получим:

,

последние три строки оказались одинаковыми, значит, матрицу можно привести к следующему виду:

.

В качестве базисных переменных можно взять , свободные – .

Ранг матрицы равен  2, т.е. , следовательно, размерность подпространства решений тоже равна 2.

Формируем фундаментальную систему решений (ФСР). Пусть переменные  принимают значения 1, 0 соответственно. Тогда из второго уравнения  находим значение  из первого уравнения находим значение  Тогда .

Пусть теперь переменные  принимают значения 0, 1 соответственно. Тогда, поступая аналогично, получим   Откуда .  - образуют ФСР, общее решение данной однородной СЛАУ имеет вид .

Задача 8. Доказать, что векторы  образуют базис и разложить вектор  по этому базису.

Решение. Ненулевые векторы образуют базис тогда и только тогда, когда они некомпланарны  (т.е. не лежат в одной плоскости), значит их смешанное произведение не должно быть равно 0:

, 121 + 333 + 221 – 223 – 231 – 131 = 12 ≠ 0. Векторы образуют базис.