Приложения частных производных и дифференциала

44. Найти , если , где .

45. Найти dz, если , где .

46. Найти , если:   а) ,    б) .

47. Найти , если:    а) ,  б) .

48. Найти  и  в точке (1,-2,2), если .

49. Найти  и , если:  а) ,  б) .

      Рекомендация. Ввести .

9.7.      Приложения частных производных и дифференциала

9.7.1.   Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Для дифференцируемой функции  при достаточно малом

из формул (5.1) – (5.3) следуетили, что то же самое, 

                                   .           (7.1)

Пример 14. Вычислить приближенно .

Ñ Искомое число будем рассматривать как значение функции  при  и , если . Точка  выбрана из соображений близости ее к точке  и простоты вычисления значений функции f и ее частных производных в точке М.   По формуле (7.1) имеем .

Находим  ,     .  Следовательно,    » . #

9.7.2.   Касательная поверхность и нормаль к поверхности

1^°. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке  (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку. Уравнение касательной плоскости в точке касания  имеет вид:

а) к поверхности F(x,y,z) = 0:
                        ,               (7.2)

б) к поверхности :    .

2^°. Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания. Параметрические уравнения нормали в точке касания   имеют вид:

а) к поверхности :

                        ;    (7.3)

б) к поверхности :

                                    .

Пример 15. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке М(2,4,6).

Ñ Обозначив через  левую часть уравнения поверхности, найдем
        По формуле (7.2) имеем уравнение касательной плоскости  или . По формулам (7.3) находим уравнения нормали в параметрической форме , отсюда можно получить канонические  уравнения нормали . #

9.7.3.   Экстремум функции 2-х переменных

          Пусть  - внутренняя точка области определения функции . Точка  называется точкой минимума (максимума) функции f, если существует такая окрестность  точки , что для любой точки  выполняется    .

Точка  называется точкой экстремума функции f, если она является точкой минимума или точкой максимума этой функции.

Теорема 9.7. (Необходимое условие экстремума.) Если - точка экстремума функции, то каждая частная производная  и  либо равна нулю, либо не существует.

          Точка  называется критической точкой функции f, если в ней выполняются необходимые условия экстремума функции f.

Теорема 9.8. (Достаточные условия экстремума.) Пусть: а) - критическая точка функции f,  б) существуют и непрерывны производные  в точках  и , в) .Тогда: 1) если  и   , то - точка минимума функции f ; 2) если  и   , то - точка максимума функции f ; 3) если , то не является точкой экстремума; 4) если , то требуется дополнительное исследование.
          Отметим, что в случае  существуют такие две прямые, проходящие через точку , что при движении точки M  по первой из этих прямых значения функции  сначала уменьшаются, затем возрастают. При движении точки М по другой прямой значения функции сначала возрастают, в точке достигают максимума, затем уменьшаются. В этом случае точку  называют седловой.

Пример 16. Исследовать на экстремум функцию .

Ñ Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7) имеем систему     решая которую получаем критические точки   . Определим характер критических точек по достаточным условиям экстремума. Находим  . В точке : , ,  , . Следовательно, - седловая точка. В точке :  , ,  , поэтому - точка минимума функции z; . #

9.7.4.   Наибольшее и наименьшее значения функции 2-х

переменных в замкнутой области

          В 9.3 была сформулирована теорема Вейерштрасса (теорема 9.1), согласно которой всякая функция , непрерывная в замкнутой области U, ограниченной ломаной Г=, достигает в этой области своих наибольшего – наименьшего значений, для отыскания которых пользуемся следующим алгоритмом.

1. Находим критические точки, принадлежащие U.

2. На каждом звене  ломаной Г сводим функцию f к функции  одной переменной и выделяем на  критические точки функции .

3. Список точек, полученный в пунктах 1 и 2 дополняем вершинами ломаной Г.

4. Вычисляем значения функции в точках полученного списка и выбираем среди них наибольшее и наименьшее, которые и будут искомыми.

Пример 17. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области D, заданной неравенствами .

Ñ Область D ограничена частью параболы   и отрезком прямой x = 4 (рис.9.3). 1) Находим критические точки из необходимого условия экстремума функции:           Решение системы: x =32,5,   y = –13. Найденная критическая точка  не принадлежит D.

2) Исследуем функцию на границе. а) На участке . Функция  сводится к функции одной переменной  .Находим критические точки функции : . На  x = 4  и точки . б) На линии  . Функция  сводится к функции , . Находим критические точки функции : , , , , . На   и получаем точки , .

3) Вершины ломаной в точках  и . 4) Вычисляем значения функции f в точках  , , , . Итак, , .#

9.7.5.   Формула Тейлора для функции 2-х переменных.

          Если функция  дифференцируема n+1 раз в некоторой окрестности  точки , то для всякой точки  справедлива формула Тейлора

              

или, записав несколько членов  в развернутом виде,

+                          (7.4)

…+

. Здесь - остаточный член в формуле Тейлора порядка n. При этом  ,где - бесконечно малая функция при  и , вид которой зависит от функции f и точки . В форме Пеано , где . При  формула (7.4) называется формулой Маклорена.

Пример 18. Функцию  разложить по формуле Тейлора в окрестности точки(2,-1).

          Ñ Имеем . Вычислим последовательно частные производные данной функции: ,

. Все последующие производные тождественно равны нулю. Значения производных в точке(2,-1):
.  По формуле (7.4) получаем искомое разложение

.#

Пример 19. Функцию  разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов второго порядка включительно.

Ñ Имеем . В соответствии с формулой (7.4) вычислим производные 1-го и 2-го порядков данной функции и их значения в точке (1,1).

,,    ;   ,

 ,       . По формуле (7.4) имеем    , где . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить приближенно:

50.  .   51. .  52. .  53. .

54. Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания
        R =2,5м, высоту H = 4м и толщину стенок l=1 дм . Найти приближенно объем
       материала, затраченного на изготовление стакана.

55.  В усеченном конусе радиусы оснований R =20 см, r =10см, высота h =30 см. Как приближенно изменится объем конуса, если R увеличить на 2 мм, r – на 3 мм и h уменьшить на 1мм.