Предел функции. Основные понятия. Предел дробно-рациональной функции

Глава 2. Предел функции

2.1. Предел функции. Основные понятия.

          Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки , за исключением быть может самой точки .

          Число A называется пределом  в точке  и пишут , если для любого  существует  такое что, для любых x таких, что  выполняется ; .

          Число A называется пределом  при , если для любого  существует число  такое, что для любых x таких, что  выполняется .

Теорема 1.  Пусть  и .  Тогда выполняется:

а) ;  б);

в) .

Неопределенностями называются следующие предельные выражения: , , , .Например, запись  означает, что это есть предельное выражение для функции  при стремлении  (т.е.  и ).

2.2. Предел дробно-рациональной функции.

Иррациональные выражения.

При вычислении предела дробно-рациональной функции

 в т.  применяется метод разложения        многочленов  на множители.

Пример. Вычислить предел.

Ñ.#

Вычисление предела  при  производится методом деления  и  на , где . Получаем

Пример. Вычислить предел .

Ñ Разделим числитель и знаменатель дроби на .

.#

Метод деления на x в старшей степени применим и  к пределам функций, содержащих иррациональные выражения.

Пример. Вычислить .

Ñ Старшая степень x в числителе – вторая у выражения , а в знаменателе также вторая при произведении x на . Тогда .#

Часто при вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, применяется метод перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот.

Пример. Вычислить .

Ñ ==  = .#

Пример. Вычислить .

Ñ == ==(делим числитель и знаменатель на x) = .#

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы.

1..   2..   3..   4..  5..   6..   7..   8..   9..   10..   11..   12..   13. , (n и m – целые числа). 14..   15..   16..   17..   18..   19..   20..

2.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный предел.

Функция  называется бесконечно малой при  (б.м.), если . Пусть  и  - б.м. при . Если , то  называется бесконечно малой более высокого порядка, чем  и пишут , . Если  , то  и  называются б.м. одного порядка малости. Если , то  и  называются эквивалентными и это обозначается  при . Если существует число k, такое что , то  называется б.м. порядка k относительно .   называется бесконечно большой (б.б.) при , если .

Теорема.  - бесконечно малая при   - бесконечно большая при .

Первый замечательный предел – это равенство  или иначе sin x ~ x при .

Следующие б.м.  величины при  - эквивалентны:

x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~arctg x ~ ()~ ln(1 + x);  1 – cos x ~ , ~x ln a.

Если ,  б.м. при  и ,  , то  и .

Разность б.м. величин можно заменить в пределе на разность величин им эквивалентных, только если эти величины не эквивалентны между собой.

Пример. Вычислить .

Ñ tg x ~ sin x при , следовательно нельзя заменить tg x и sin x на x:

^==. #

При вычислении пределов с использованием эквивалентных б.м. величин часто применяется метод замены переменной.

Пример. Вычислить .

Ñ = ½замена ½= = ==  .#

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы.

21..   22..   23..   24..   25..   26..   27..   28..   29..   30..   31..   32..   33..   34..   35..   36..   37..

Определить порядок относительно x функции, бесконечно малой при :

38..   39..   40..   41..   42..

Дана функция. Найти ей эквивалентную вида  а) при ; б) при .

43..   44..  45..   46. .   47..   48..   49..  

2.4. Второй замечательный предел

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность : . Более обще, этот предел можно записать в виде , где - б.м. при .

 Пусть   дает неопределенность вида .  Так как  , то  где - б.м. при . Тогда  == = .

Пример. Вычислить .

Ñ =.

Рассмотрим .  при  и .

Бесконечно малые величины  и  не являются эквивалентными и следовательно  =. #

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы.

50..   51..   52..   53.. 54..   55..   56..   57..   58..   59..

Ответы к задачам главы 2:

1. 3/4.    2. 0.   3. –2/5.   4. .    5. .   6. 0.   7.-1.   8. 0.   9. 1/4.   10. 1/4.   11. 3.       12. 2/3.   13. m/n.   14. 1/2, если ; -, если .   15. , если ; , если .   16. .   17. 0.   18. 2.   19. .   20. 0.   21. .   22. 2/3.   23. 3/4.   24. .   25. –1.   26. 1/2.   27. .   28. –3/2.   29. 1.   30. .     31. 2.   32. –2.   33. .   34. 1.   35. 3/2.   36. .   37. .   38. 1/2.   39. эквивалентная б.м.   40. 1.   41. 2/3.   42. 2.   43. a) ; ,б) .   44. а) ; б) . 45. а)   б) .   46. a) ;  б) .   47. а) ;  б) .   48. а) , б) .   49. а)  б) .   50. 1.   51. .   52. .   53. 0, если ;  , если .   54. .   55. a.   56. 1.   57. 1/e.   58. e.