Построение точно доверительного интервала для параметра нормального распределения уровня доверия 1-e по исходной выборке объема 5

Задача 1.

Построить точно доверительный интервал для параметра нормального распределения уровня доверия 1-e по исходной выборке объема 50.

а) а, если s² известно

Решение: ,

Статистика  имеет распределение , где , поэтому, если , то , следовательно, по определению доверительного интервала уровня доверия 1-e получаем, что  - доверительный интервал для , значит, для а доверительный интервал:

Ответ: доверительный интервал уровня доверия 1-e для а, если s² известно:

б) а, если s² неизвестно

Решение: Статистика  имеет распределение , где , , (степеней свободы 49) поэтому, если , то , следовательно, по определению доверительного интервала уровня доверия 1-e получаем, что  - доверительный интервал для , значит, для а доверительный интервал:

Поэтому, , по справочным таблицам находим:

Ответ: доверительный интервал уровня доверия 1-e для а, если s² неизвестно:

в) s², если а известно

Решение: Статистика  имеет распределение , где , поэтому, если , то , следовательно, по определению доверительного интервала уровня доверия 1-e получаем, что  - доверительный интервал для , значит, для s² доверительный интервал:

Поэтому, по справочным таблицам находим:

Ответ: доверительный интервал уровня доверия 1-e для s², если а известно:

г) s², если а неизвестно

Решение: Статистика  имеет распределение , где, , поэтому, если , то , следовательно, по определению доверительного интервала уровня доверия 1-e получаем, что  - доверительный интервал для , значит, для s² доверительный интервал:

Поэтому, по справочным таблицам находим:

Ответ: доверительный интервал уровня доверия 1-e для s², если а неизвестно:

Задача 2

По данным числовым наблюдениям (выборка объема 30) проверить основную гипотезу о равномерности распределения с помощью:

а) критерия Колмогорова

Решение:

Рассмотрим статистику  

, где - функция Колмогорова.

По критерию Колмогорова отвергается, если , и принимается, если

По справочным таблицам находим: , следовательно,

Ответ: основная гипотеза принимается на основании критерия Колмогорова.

б) критерия хи-квадрат

Решение:

	интервалы		сумма
1	0-0,1	7	5,3333333
2	0,1-0,2	2	0,333333
3	0,2-0,3	1	1,333333
4	0,3-0,4	1	1,333333
5	0,4-0,5	4	0,333333
6	0,5-0,6	6	3
7	0,6-0,7	4	0,333333
8	0,7-0,8	1	1,333333
9	0,8-0,9	3	0
10	0,9-1	1	1,333333
(сумма)			14,666667

 – количество , попавших в

Рассмотрим статистику

По критерию Пирсона (хи-квадрат) отвергается, если , и принимается, если , где  квантиль уровня 1-e для распределения , т.е.

По справочным таблицам находим: , следовательно,

Ответ: основная гипотеза принимается на основании критерия хи-квадрат.

Задача 3.

а)  Проверить гипотезу о совпадении дисперсий при неизвестных средних,

             – распределение Фишера,

           ,

r_- = 0,398472, r₊ = 2,319879, R = 1,579765,

            r_- < R < r₊  

Ответ: основная гипотеза принимается

б)  Проверить гипотезу о совпадении средних, если известно, что неизвестные дисперсии совпадают,

           , , , 

           : ,  

r_τ =2,111073, , , |R| = 0,773260;

          |R| <r_τ

Ответ:  основная гипотеза принимается